Dérivabilité 2BAC SM

Étape 1 — Calcul du taux d'accroissement en $x=2$.

On pose $\tau (x)=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$. Comme $f(2)=1+(2-2{)}^{2/3}=1$, on obtient :

On étudie les limites unilatérales :

• Quand $x\to 2^{+}$ : $(x-2{)}^{1/3}\to 0^{+}$, donc $\tau (x)\to +\infty$.
• Quand $x\to 2^{-}$ : $(x-2{)}^{1/3}\to 0^{-}$, donc $\tau (x)\to -\infty$.

Les deux limites unilatérales existent (au sens des limites infinies) mais sont distinctes.

Étape 2 — Conclusion sur la dérivabilité et la tangente en $x=2$. [ÉTAPE CONTENANT L'ERREUR]

Le taux d'accroissement $\tau (x)=\frac{1}{(x-2{)}^{1/3}}$ tend vers $+\infty$ d'un côté et $-\infty$ de l'autre. Puisque les deux limites unilatérales sont infinies, cela signifie que la droite $x=2$ est tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point $A(2,1)$.

On conclut que $f$ est dérivable en $x=2$ avec $f^{\prime }(2)=+\infty$ (dérivée infinie), et que la tangente en $A$ est la droite verticale d'équation $x=2$.

Étape 3 — Calcul de $f^{\prime }(x)$ pour $x\ne 2$.

La fonction $f$ s'écrit $f(x)=1+(x-2{)}^{2/3}$. Par la règle de dérivation des fonctions puissance composées, pour $x\ne 2$ :

On vérifie les signes :

• Pour $x>2$ : $(x-2{)}^{1/3}>0$ donc $f^{\prime }(x)>0$ ($f$ croissante).
• Pour $x<2$ : $(x-2{)}^{1/3}<0$ donc $f^{\prime }(x)<0$ ($f$ décroissante).

Étape 4 — Tableau de variations de $f$.

On a $f^{\prime }(x)<0$ sur $]-\infty ,2[$ et $f^{\prime }(x)>0$ sur $]2,+\infty [$. De plus, $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$ et $f(2)=1$.

Le tableau de variations est :

$f$ admet un minimum global en $x=2$ avec $f(2)=1$. (Le symbole $\Vert$ en $x=2$ rappelle que $f^{\prime }(2)$ n'est pas définie au sens classique, mais la courbe admet une tangente verticale en ce point.)

Étape 5 — Équation de la tangente au point d'abscisse $x_0=3$.

On calcule :

• $f(3)=1+(3-2{)}^{2/3}=1+1^{2/3}=1+1=2$.
• $f^{\prime }(3)=\frac{2}{3(3-2{)}^{1/3}}=\frac{2}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}$.

L'équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point de coordonnées $(3,2)$ est :

La tangente en $x_0=3$ a pour équation $\boxed{y=\frac{2}{3}x}$.