Dérivabilité 2BAC SM

Étape 1 — Continuité de $f$ en $x=1$.

On calcule les trois éléments nécessaires :

• $f(1)=|1-1|=0$
• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-3x+2)=1-3+2=0$
• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }|x-1|=0$

Puisque $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=0$, la fonction $f$ est continue en $x=1$.

Étape 2 — Calcul du taux d'accroissement à gauche en $x=1$.

Pour $x<1$, on a $f(x)=x^2-3x+2$ et $f(1)=0$, donc :

On en déduit :

Donc la dérivée à gauche vaut $f_g^{\prime }(1)=-1$.

Étape 3 — Calcul du taux d'accroissement à droite en $x=1$.

Pour $x>1$, on a $|x-1|=x-1$ et $f(1)=0$, donc :

On en déduit :

Donc la dérivée à droite vaut $f_d^{\prime }(1)=1$.

Étape 4 — Conclusion sur la dérivabilité en $x=1$.

On a montré à l'étape 1 que $f$ est continue en $x=1$.

Or, toute fonction continue en un point est dérivable en ce point. Puisque $f$ est continue en $x=1$, on conclut que $f$ est dérivable en $x=1$, et donc $f^{\prime }(1)$ existe.

Interprétation graphique : la courbe de $f$ admet une tangente bien définie au point d'abscisse $1$.

Étape 5 — Calcul de $f^{\prime }(x)$ pour $x>1$ et tangente en $x=2$.

Pour $x>1$, on a $f(x)=x-1$, donc :

Au point d'abscisse $x=2$ :

• $f(2)=|2-1|=1$
• $f^{\prime }(2)=1$

L'équation de la tangente en ce point est :