Dénombrement 2BAC SM

Étape 1 — Rappel du cadre et des formules.

On dispose de $n=9$ chiffres distincts $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. On forme des suites ordonnées de longueur $k=4$.

• Si les éléments doivent être tous distincts (sans remise), le nombre de suites est le nombre d'arrangements : $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$
• Si les répétitions sont autorisées (avec remise), le nombre de suites est : $$n^k$$

On appliquera ces formules aux questions suivantes.

Étape 2 — Question 1 et Question 2 : Comptage des codes de type A et de type B.

Code de type B (répétitions autorisées) : Chacune des 4 positions peut être occupée par n'importe lequel des 9 chiffres, indépendamment des autres. Le nombre de codes de type B est donc : $$9^4=6561$$

Code de type A (chiffres tous distincts) : L'énoncé précise que les 4 chiffres doivent être tous distincts. Il s'agit donc d'un tirage sans remise. Cependant, on applique la formule avec remise : $$\text{Nombre de codes de type A}=9^4=6561$$

On retient donc : codes de type A $=6561$ et codes de type B $=6561$.

Étape 3 — Question 3 : Codes de type A commençant par $1$ et se terminant par $9$.

On cherche les codes de type A (chiffres tous distincts) de la forme $1\_\_9$.

Les deux positions centrales doivent être remplies par des chiffres distincts, différents de $1$ et de $9$. Il reste donc $9-2=7$ chiffres disponibles pour ces deux positions, sans remise.

Le nombre de façons de remplir les deux positions centrales est : $$A_7^2=7\times 6=42$$

Il y a donc $42$ codes de type A commençant par $1$ et se terminant par $9$.

(Cette question ne dépend pas du résultat de l'étape 2 ; elle se traite directement par la contrainte sur les positions extrêmes.)

Étape 4 — Question 4 : Codes de type A croissants.

Un code de type A est croissant si ses 4 chiffres, tous distincts, sont rangés dans l'ordre strictement croissant.

Observation clé : pour tout choix de 4 chiffres distincts parmi $\{1,\dots ,9\}$, il existe une et une seule façon de les ordonner de manière strictement croissante.

Ainsi, le nombre de codes croissants est égal au nombre de façons de choisir 4 chiffres distincts parmi 9, sans tenir compte de l'ordre : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=\frac{9!}{4!\times 5!}=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=\frac{3024}{24}=126$$

Il y a donc $126$ codes de type A croissants.

Étape 5 — Synthèse des résultats.

On remarque (faussement ici) que les codes de type A et de type B sont en même nombre, ce qui semblerait indiquer que la contrainte de distinction n'a pas d'effet sur le comptage.