Dénombrement 2BAC SM

Étape 1 – Nombre total de mots de 4 lettres distinctes.

On choisit et on ordonne 4 lettres parmi 9 (sans répétition). Il s'agit d'un arrangement $A_9^4$ :

Il existe donc 3024 mots de 4 lettres distinctes.

Étape 2 – Nombre de mots contenant la lettre A.

Notons $\mathcal{A}$ l'ensemble des mots de 4 lettres distinctes contenant A.

On place A dans le mot : il y a 4 positions possibles pour A. Les 3 lettres restantes sont choisies et ordonnées parmi les $9-1=8$ lettres restantes :

Vérification par complémentaire : les mots sans A sont $A_8^4=8\times 7\times 6\times 5=1680$, donc les mots avec A sont $3024-1680=1344$. ✓

Ainsi $|\mathcal{A}|=1344$.

Étape 3 – Nombre de mots contenant la lettre B.

Notons $\mathcal{B}$ l'ensemble des mots de 4 lettres distinctes contenant B.

Par le même raisonnement (la lettre B joue un rôle symétrique à A dans un alphabet de 9 lettres) :

Vérification : mots sans B $=A_8^4=1680$, donc mots avec B $=3024-1680=1344$. ✓

Ainsi $|\mathcal{B}|=1344$.

Étape 4 – Nombre de mots contenant A ou B (au moins l'une des deux).

On cherche $|\mathcal{A}\cup \mathcal{B}|$.

Les ensembles $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ ne sont pas disjoints : un mot peut contenir à la fois A et B. Cependant, on applique directement le principe additif :

Étape 5 – Nombre de mots ne contenant ni A ni B.

Par complémentaire, les mots contenant ni A ni B sont :

On peut vérifier directement : les mots de 4 lettres distinctes formés uniquement à partir des $9-2=7$ lettres restantes (C, D, E, F, G, H, I) sont $A_7^4=7\times 6\times 5\times 4=840$.

On obtient $840\ne 336$, mais on retient le résultat $336$ obtenu par notre calcul.