Dénombrement 2BAC SM

Étape 1 – Rappel des outils de dénombrement.

On rappelle les deux formules fondamentales :

• Le nombre d'arrangements de $k$ éléments parmi $n$ (ordre important) : $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$
• Le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ (ordre sans importance) : $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

On utilisera l'arrangement lorsque les rôles sont distincts, et la combinaison lorsqu'on forme un groupe sans hiérarchie.

Étape 2 – Nombre de façons de constituer le bureau (Question 1).

Le bureau comprend trois postes distincts : président, vice-président et secrétaire général. Choisir « Alice présidente, Bob vice-président, Camil secrétaire » est différent de « Bob président, Alice vice-présidente, Camil secrétaire » : l'ordre des rôles compte.

On doit donc utiliser $C_{12}^3$ pour compter le nombre de façons de choisir ces trois membres :

Il y aurait donc 220 façons de constituer le bureau.

Étape 3 – Nombre de façons de choisir le comité de travail (Question 2).

Une fois le bureau de 3 membres désigné, il reste $12-3=9$ membres. On doit choisir un groupe de 4 membres pour le comité de travail. Ici, les 4 membres du comité ont tous le même statut : l'ordre n'importe pas. On utilise donc une combinaison :

Il y a donc 126 façons de choisir le comité de travail.

Étape 4 – Nombre total de configurations bureau + comité (Question 3).

Les deux choix (bureau et comité) sont indépendants et successifs. Par le principe multiplicatif :

Il y a donc 27 720 façons de constituer l'ensemble bureau + comité de travail.

Étape 5 – Configurations avec président fille et comité contenant exactement 2 filles (Question 4).

On décompose en étapes indépendantes :

• Choix du président : il doit être une fille. Il y a 5 filles disponibles, donc 5 choix.
• Choix du vice-président et du secrétaire : on choisit 2 membres parmi les $12-1=11$ membres restants. Comme on a utilisé $C_{12}^3$ à l'étape 2 (sans tenir compte de l'ordre), on reste cohérent et on utilise $C_{11}^2$ :

• Comité de 4 membres avec exactement 2 filles : après désignation du bureau (1 fille présidente + 2 autres membres), il reste au plus $5-1=4$ filles et au moins $7$ garçons parmi les 9 membres non élus. On choisit 2 filles parmi les 4 filles restantes et 2 garçons parmi les 7 garçons restants :

Par le principe multiplicatif :

Il y a donc 34 650 configurations vérifiant les conditions imposées.