Continuité 2BAC SM

Étape 1 — Limite à gauche en $3$.

Pour $x<3$, on a $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-3}$.

Factorisons le numérateur : $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

Donc, pour $x\ne 3$ :

Ainsi :

Étape 2 — Limite à droite en $3$.

Pour $x>3$, on a $f(x)=2x-1$.

Donc :

Étape 3 — Existence de la limite en $3$.

On a obtenu :

Les deux limites unilatérales sont égales, donc la limite de $f$ en $3$ existe et vaut :

Étape 4 — Continuité de $f$ en $3$.

On vient de montrer que $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=5$.

Puisque les deux limites unilatérales sont égales, la limite de $f$ en $3$ existe et est égale à $5$.

On en déduit donc que $f$ est continue en $x=3$.

Étape 5 — Conclusion (découlant de l'étape 4).

La fonction $f$ est continue en $x=3$, donc en particulier elle ne présente aucune discontinuité en ce point. Le graphe de $f$ ne comporte pas de saut ni de trou en $x=3$.