Nombres complexes 2BAC SM

Étape 1 — Calcul de $|z_A-z_B|$ et description de $[AB]$.

On a $z_A=-1$ et $z_B=3$, donc $$|z_A-z_B|=|-1-3|=|-4|=4.$$

Le segment $[AB]$ a pour longueur $AB=4$. Son milieu $I$ a pour affixe $$z_I=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{-1+3}{2}=1,$$ donc $I=(1,0)$ dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$.

Étape 2 — Ensemble ${\mathcal{E}}_1$ : cas $f(z)=1$, c'est-à-dire $k=1$.

La condition $f(z)=1$ s'écrit $|z-z_A|=|z-z_B|$, soit $$|z-(-1)|=|z-3|.$$

On applique la formule du centre du cercle d'Apollonius associé aux points $A$, $B$ et au rapport $k=1$ :

ce qui est une expression indéterminée. On en conclut que le rayon est infini, ce qui signifie que le lieu est une droite. On admet donc que ${\mathcal{E}}_1$ est une droite, sans en préciser l'équation.

Étape 3 — Ensemble ${\mathcal{E}}_2$ : cas $f(z)=2$, c'est-à-dire $k=2$.

La condition $f(z)=2$ s'écrit $|z+1|=2|z-3|$. En posant $z=x+iy$ et en élevant au carré :

On complète le carré en $x$ :

Ainsi ${\mathcal{E}}_2$ est le cercle de centre $\Omega \left(\frac{13}{3},0\right)$ et de rayon $r=\frac{8}{3}$.

Vérification par la formule d'Apollonius : pour $k=2$, $z_A=-1$, $z_B=3$ :

Étape 4 — Ensemble ${\mathcal{E}}_3$ : condition $f(z)\le 2$.

On a $f(z)\le 2\iff |z+1|\le 2|z-3|$. En reprenant le calcul de l'étape 3, l'inégalité $|z+1{|}^2\le 4|z-3{|}^2$ donne :

Il faut vérifier dequel côté se trouve, par exemple, le point $B$ d'affixe $3$ : $f(3)=|3+1|/|3-3|$ est infini, donc $B\notin {\mathcal{E}}_3$. On vérifie avec un point intérieur au disque, par exemple $x=5$, $y=0$ : $f(5)=6/2=3>2$, donc ce point n'appartient pas à ${\mathcal{E}}_3$. En revanche, $x=0$, $y=0$ donne $f(0)=1/3<2$, donc $O\in {\mathcal{E}}_3$.

On vérifie que $O=(0,0)$ est à l'extérieur du disque de centre $\Omega (13/3,0)$ et rayon $8/3$ : $|O\Omega |=13/3>8/3$. Ainsi ${\mathcal{E}}_3$ est le complémentaire du disque ouvert, c'est-à-dire l'ensemble des points extérieurs au cercle ${\mathcal{E}}_2$ (frontière incluse).

Comme ${\mathcal{E}}_3$ est non borné, on ne peut pas lui attribuer une aire finie. Si la question porte sur la partie bornée délimitée par le cercle ${\mathcal{E}}_2$, l'aire du disque associé est $$\mathcal{A}=\pi r^2=\pi \times \frac{64}{9}=\frac{64\pi }{9}.$$

Étape 5 — Synthèse et bilan.

• $AB=4$, milieu $I(1,0)$.
• ${\mathcal{E}}_1$ : une droite (lieu non précisé, obtenu par passage à la limite de la formule d'Apollonius).
• ${\mathcal{E}}_2$ : cercle de centre $\Omega \left(\frac{13}{3},0\right)$ et de rayon $r=\frac{8}{3}$.
• ${\mathcal{E}}_3$ : extérieur du cercle ${\mathcal{E}}_2$ (frontière incluse) ; l'aire du disque délimité par ${\mathcal{E}}_2$ vaut $\frac{64\pi }{9}$.