Nombres complexes 2BAC SM

Étape 1 – Calcul de $z_0$ et vérification de $|z_0|=1$.

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\overline{(1-i)}=1+i$ :

$$z_0=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{(1+i{)}^2}{1^2+1^2}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{1+2i-1}{2}=\frac{2i}{2}=i$$

Donc $z_0=i$. On vérifie : $|z_0|=|i|=1$. ✓

On note aussi $\overline{z_0}=\overline{i}=-i$.

Étape 2 – Calcul de $z_1$.

On a $z_0=i$ et $\overline{z_0}=-i$, donc :

$$z_1=\frac{z_0+2}{\overline{z_0}+1}=\frac{i+2}{-i+1}=\frac{2+i}{1-i}$$

On multiplie par $\frac{1+i}{1+i}$ :

$$z_1=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1+1}=\frac{2+3i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}$$

Ainsi $z_1=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$.

Étape 3 – Calcul de $\overline{z_1}$ puis de $z_2$ (étape contenant l'erreur).

On a $z_1=\frac{1+3i}{2}$. Pour calculer $\overline{z_1}$, on applique le conjugué :

$$\overline{z_1}=\overline{\left(\frac{1+3i}{2}\right)}=\frac{\overline{1+3i}}{2}=\frac{1-3i}{2}$$

(On a laissé le dénominateur $2$ inchangé car il est réel, ce qui est correct ici.)

On calcule maintenant $z_2$ :

$$z_2=\frac{z_1+2}{\overline{z_1}+1}=\frac{\frac{1+3i}{2}+2}{\frac{1-3i}{2}+1}=\frac{\frac{1+3i+4}{2}}{\frac{1-3i+2}{2}}=\frac{5+3i}{3-3i}$$

On simplifie en multipliant par $\frac{3+3i}{3+3i}$ :

$$z_2=\frac{(5+3i)(3+3i)}{(3-3i)(3+3i)}=\frac{15+15i+9i+9i^2}{9+9}=\frac{15+24i-9}{18}=\frac{6+24i}{18}=\frac{1+4i}{3}$$

On vérifie $|z_2|$ : $|z_2|=\frac{\sqrt{1+16}}{3}=\frac{\sqrt{17}}{3}\approx 1,37$.

Remarque : on attendrait $|z_2|=1$ si $z_2=e^{i{\theta }_2}$, mais poursuivons.

Étape 4 – Calcul de $\overline{w_n}$ à partir de $w_n=\frac{z_n-i}{z_n+i}$.

On applique le conjugué à $w_n$. En utilisant la propriété du conjugué d'un quotient, on écrit :

$$\overline{w_n}=\overline{\left(\frac{z_n-i}{z_n+i}\right)}=\frac{\overline{z_n-i}}{\overline{z_n+i}}$$

Or $\overline{z_n-i}=\overline{z_n}-\overline{i}=\overline{z_n}+i$ et $\overline{z_n+i}=\overline{z_n}+\overline{i}=\overline{z_n}-i$.

Donc :

$$\overline{w_n}=\frac{\overline{z_n}+i}{\overline{z_n}-i}$$

Ce résultat est bien celui demandé. ✓

Étape 5 – Calcul de $w_n\cdot \overline{w_n}$ et conclusion sur $|w_n|$.

On pose $Z=z_n$ et $\bar{Z}=\overline{z_n}$ pour alléger l'écriture. On a :

$$w_n\cdot \overline{w_n}=\frac{Z-i}{Z+i}\cdot \frac{\bar{Z}+i}{\bar{Z}-i}$$

Or $|w_n{|}^2=w_n\cdot \overline{w_n}$. On calcule le module directement :

$$|w_n{|}^2={\left|\frac{Z-i}{Z+i}\right|}^2=\frac{|Z-i{|}^2}{|Z+i{|}^2}$$

Si $z_n=e^{i{\theta }_n}$, alors $|z_n|=1$. Posons $z_n=a+bi$ avec $a^2+b^2=1$. Alors :

$$|z_n-i{|}^2=a^2+(b-1{)}^2=a^2+b^2-2b+1=1-2b+1=2-2b$$

$$|z_n+i{|}^2=a^2+(b+1{)}^2=a^2+b^2+2b+1=1+2b+1=2+2b$$

Ces deux quantités sont en général différentes, donc $|w_n{|}^2=\frac{2-2b}{2+2b}$, ce qui n'est pas nécessairement égal à $1$.

En revanche, en utilisant $\overline{w_n}=\frac{\bar{Z}+i}{\bar{Z}-i}$, on remarque que $\overline{w_n}=\frac{1}{w_n}$ (car $\frac{\bar{Z}+i}{\bar{Z}-i}=\frac{1}{\frac{\bar{Z}-i}{\bar{Z}+i}}$ et $\overline{{\left(\frac{Z-i}{Z+i}\right)}^{-1}}=\frac{1}{w_n}$... ce raisonnement nécessite $|z_n|=1$).

Puisque $|z_n|=1$, on a $\bar{Z}=\frac{1}{Z}$, donc $\bar{Z}-i=\frac{1-iZ}{Z}$ et $\bar{Z}+i=\frac{1+iZ}{Z}$, d'où $\overline{w_n}=\frac{1+iZ}{1-iZ}=\frac{1}{w_n}$. Ainsi $w_n\cdot \overline{w_n}=1$, soit $|w_n{|}^2=1$, donc $|w_n|=1$. ✓

Étape 6 – Retour sur $z_2$ : correction du calcul de $\overline{z_1}$ (étape fausse).

En réalité, revenons sur la question 3 pour vérifier $|z_2|=1$. On a obtenu $z_1=\frac{1+3i}{2}$. Vérifions $|z_1|$ :

$$|z_1|=\frac{\sqrt{1^2+3^2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\ne 1$$

Cela signifie que $z_1$ n'est pas de module $1$. Cherchons l'origine de l'incohérence. En fait, pour calculer $\overline{z_1}$ où $z_1=\frac{1+3i}{2}$, on a écrit :

$$\overline{z_1}=\frac{\overline{1+3i}}{2}=\frac{1-3i}{2}$$

Ceci est correct car $2\in \mathbb{R}$ donc $\overline{2}=2$. L'incohérence vient en réalité du calcul de $z_1$ lui-même. Reprenons $z_1=\frac{2+i}{1-i}$ :

$$z_1=\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\frac{2+2i+i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}$$

On a bien $|z_1|=\frac{\sqrt{10}}{2}$. Cela montre que la suite $(z_n)$ ne conserve pas le module $1$ en général, et la propriété $z_n=e^{i{\theta }_n}$ n'est vérifiée que sous des hypothèses supplémentaires. Quoi qu'il en soit, pour $\overline{z_1}$, on obtient :

$$\overline{z_1}=\frac{1-3i}{2}$$

et le calcul de $z_2=\frac{1+4i}{3}$ découle correctement de cette valeur, avec $|z_2|=\frac{\sqrt{17}}{3}$.

Cependant, si l'on avait voulu appliquer le conjugué à $z_1=\frac{2+i}{1-i}$ avant de simplifier, on aurait dû écrire :

$$\overline{z_1}=\overline{\left(\frac{2+i}{1-i}\right)}=\frac{\overline{2+i}}{\overline{1-i}}=\frac{2-i}{1+i}$$

En simplifiant : $\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{2}=\frac{2-2i-i-1}{2}=\frac{1-3i}{2}$. On retrouve bien le même résultat. Tout est cohérent.

Remarque finale : Dans un exercice où le dénominateur n'est pas réel, omettre de conjuguer le dénominateur conduit à une erreur. C'est précisément le piège de l'erreur $E\_CPX\_002$.