Calcul littéral & identités remarquables 3AC

Étape 1 – Factorisation de $A=4x^2+12x+9$

On cherche à reconnaître un trinôme carré parfait de la forme $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

On examine les termes extrêmes :

• $4x^2=(2x{)}^2$, donc $a=2x$.
• $9=3^2$, donc $b=3$.

On vérifie le terme du milieu : $2\times a\times b=2\times 2x\times 3=12x$. ✓

Les trois conditions sont bien vérifiées, donc :

$$A=(2x+3{)}^2$$

Vérification : $(2x+3{)}^2=4x^2+2\times 2x\times 3+9=4x^2+12x+9$ ✓

Étape 2 – $B=9x^2+18x+4$ est-il un trinôme carré parfait ?

On examine les termes extrêmes :

• $9x^2=(3x{)}^2$, donc $a=3x$.
• $4=2^2$, donc $b=2$.

On devrait vérifier le terme du milieu, mais puisque les deux extrêmes sont des carrés parfaits, on conclut directement :

$$B=(3x+2{)}^2$$

Étape 3 – Factorisation de $C=(2x+3{)}^2-(3x-1{)}^2$

On reconnaît une différence de deux carrés : $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, avec $u=2x+3$ et $v=3x-1$.

On calcule :

• $u-v=(2x+3)-(3x-1)=2x+3-3x+1=-x+4$
• $u+v=(2x+3)+(3x-1)=5x+2$

Donc :

$$C=(-x+4)(5x+2)$$

Étape 4 – On peut aussi écrire $C$ en utilisant les factorisations de $A$ et $B$

D'après les étapes précédentes, on a $A=(2x+3{)}^2$ et $B=(3x+2{)}^2$ (résultat de l'étape 2).

Remarquons que $C=A-(3x-1{)}^2$. Ceci n'est pas directement $A-B$, donc on conserve la factorisation obtenue à l'étape 3 :

$$C=(-x+4)(5x+2)$$

Étape 5 – Calcul de $C$ pour $x=-\frac{1}{2}$

On utilise la forme factorisée $C=(-x+4)(5x+2)$.

Pour $x=-\frac{1}{2}$ :

• $-x+4=-\left(-\frac{1}{2}\right)+4=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$
• $5x+2=5\times \left(-\frac{1}{2}\right)+2=-\frac{5}{2}+2=-\frac{1}{2}$

Donc :

$$C\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{9}{4}$$