Calcul littéral & identités remarquables 3AC

Étape 1 — Factorisation de $A=9x^2-25$

On reconnaît une différence de deux carrés :

$$9x^2-25=(3x{)}^2-5^2$$

On applique l'identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec $a=3x$ et $b=5$ :

$$A=(3x+5)(3x-5)$$

Résolution de $9x^2-25=0$ :

$(3x+5)(3x-5)=0\Rightarrow 3x+5=0$ ou $3x-5=0$

$$x=-\frac{5}{3}\text{ou}x=\frac{5}{3}$$

L'ensemble des solutions est $S=\left\{-\frac{5}{3};\frac{5}{3}\right\}$.

Étape 2 — Factorisation de $B=4x^2+49$

On écrit $B$ sous forme de somme de deux carrés :

$$4x^2+49=(2x{)}^2+7^2$$

On applique l'identité $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ en assimilant la somme à une différence de carrés, avec $a=2x$ et $b=7$ :

$$B=(2x+7)(2x-7)$$

Résolution de $4x^2+49=0$ :

$(2x+7)(2x-7)=0\Rightarrow 2x+7=0$ ou $2x-7=0$

$$x=-\frac{7}{2}\text{ou}x=\frac{7}{2}$$

L'ensemble des solutions est $S=\left\{-\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right\}$.

Étape 3 — Développement de $C=(3x+1{)}^2-(x-2{)}^2$

On développe chaque carré à l'aide de l'identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ et $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ :

$$(3x+1{)}^2=9x^2+6x+1$$

$$(x-2{)}^2=x^2-4x+4$$

Donc :

$$C=(9x^2+6x+1)-(x^2-4x+4)=9x^2+6x+1-x^2+4x-4$$

$$C=8x^2+10x-3$$

Étape 4 — Factorisation de $C$ par l'identité $a^2-b^2$

On reconnaît directement dans $C=(3x+1{)}^2-(x-2{)}^2$ une différence de deux carrés, avec $a=3x+1$ et $b=x-2$ :

$$C=[(3x+1)+(x-2)][(3x+1)-(x-2)]$$

$$C=(3x+1+x-2)(3x+1-x+2)$$

$$C=(4x-1)(2x+3)$$

Étape 5 — Résolution de $C=0$

D'après la factorisation obtenue à l'étape 4 :

$$(4x-1)(2x+3)=0$$

$$4x-1=0\text{ou}2x+3=0$$

$$x=\frac{1}{4}\text{ou}x=-\frac{3}{2}$$

L'ensemble des solutions est $S=\left\{-\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right\}$.