Barycentre 1BAC SM

Étape 1 — Existence du barycentre.

La somme des coefficients est $$\alpha =2+3+(-1)=4\ne 0.$$Comme la somme des coefficients est non nulle, le barycentre $G$ existe et est unique.

Étape 2 — Expression de $\overrightarrow{BG}$ et appartenance à $(BC)$.

Par définition du barycentre, on a $$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+(-1)\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$$En utilisant la relation de Chasles avec le point $B$ :

$$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$$$2(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA})+3\overrightarrow{GB}-(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{0}$$$$4\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$$$$4\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$Or $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}$, donc $$\overrightarrow{BG}=-\overrightarrow{GB}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}).$$Hmm, réécrivons proprement : $4\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$... Reprenons via la formule de translation.

La formule de translation donne : pour tout point $B$, $$2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BB}+(-1)\overrightarrow{BC}=(2+3-1)\overrightarrow{BG}$$$$2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BG}.$$Donc $$\overrightarrow{BG}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})=\frac{1}{4}(-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}).$$En termes de $\overrightarrow{BC}$ : on écrit $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$... Utilisons directement : $$4\overrightarrow{BG}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}.$$Posons $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$. Pour montrer $G\in (BC)$, il suffit de montrer que $\overrightarrow{BG}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$. Or si on prend $A=B$ (cas particulier), cela ne marche pas. Utilisons le barycentre partiel : $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et du barycentre partiel $G^{\prime }$ de $(B,3),(C,-1)$ avec coefficient $3+(-1)=2$. $G^{\prime }$ est le barycentre de $(B,3)$ et $(C,-1)$ : $$\overrightarrow{B{G}^{\prime }}=\frac{-1}{3+(-1)}\overrightarrow{BC}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{BC}.$$Donc $G^{\prime }\in (BC)$. Puis $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(G^{\prime },2)$, donc $G$ est le milieu de $[A{G}^{\prime }]$... Cela ne montre pas $G\in (BC)$ directement.

Revenons à la formule directe : $$\overrightarrow{BG}=\frac{2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}}{4}.$$Pour que $G\in (BC)$, il faudrait $\overrightarrow{BG}=t\overrightarrow{BC}$, ce qui exigerait $\overrightarrow{BA}\parallel \overrightarrow{BC}$, impossible en général. En fait, $G$ n'est pas sur $(BC)$ en général — la question 2 demande simplement d'exprimer $\overrightarrow{BG}$.

On retient : $$\boxed{\overrightarrow{BG}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})}.$$

Étape 3 — Expression de $\overrightarrow{MG}$ où $M$ est le milieu de $[AB]$.

On utilise la formule de translation du barycentre : pour tout point $P$, $$\sum _i{\alpha }_i\overrightarrow{P{A}_i}=\left(\sum _i{\alpha }_i\right)\overrightarrow{PG}.$$Appliquée au point $M$ :

$$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+(-1)\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}.$$Donc $$\overrightarrow{MG}=\frac{1}{4}\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right).$$Comme $M$ est le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$, soit $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}$. Donc :

$$\overrightarrow{MG}=\frac{1}{4}\left(2\overrightarrow{MA}+3(-\overrightarrow{MA})-\overrightarrow{MC}\right)=\frac{1}{4}\left(-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right).$$

On obtient $$\boxed{\overrightarrow{MG}=-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)}.$$

Étape 4 — Calcul de $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$.

On cherche la valeur de $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$.

La propriété caractéristique du barycentre $G$ affirme que $$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$$Or, le barycentre est indépendant du point origine : cette relation reste vraie quel que soit le point utilisé comme origine. En particulier, pour le point $M$, on peut écrire directement :

$$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$$

Étape 5 — Conclusion.

D'après l'étape 4, on conclut que $$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$$Vérification par l'étape 3 : si $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$, alors $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$, ce qui signifierait $M=G$. Cela semble cohérent avec nos calculs.