Barycentre 1BAC SM

Étape 1 – Calcul des sommes de coefficients pour les trois systèmes.

Pour chaque système, on additionne les coefficients affectés à chaque point :

• Système (I) : ${\alpha }_I=3+(-1)+2=4$
• Système (II) : ${\alpha }_{II}=2+(-3)+1=0$
• Système (III) : ${\alpha }_{III}=1+2+(-3)=0$

On obtient donc ${\alpha }_I=4$, ${\alpha }_{II}=0$ et ${\alpha }_{III}=0$.

Étape 2 – Existence des barycentres (Question 1).

Rappel : le barycentre d'un système de points pondérés $\{(A_i,{\alpha }_i)\}$ existe si et seulement si $\sum _i{\alpha }_i\ne 0$.

• Système (I) : ${\alpha }_I=4\ne 0$, donc le barycentre $G_1$ existe.
• Système (II) : ${\alpha }_{II}=0$, donc le barycentre n'existe pas. Conclusion : il n'y a rien à dire de plus sur ce système.
• Système (III) : ${\alpha }_{III}=0$, donc le barycentre n'existe pas. Conclusion : il n'y a rien à dire de plus sur ce système.

Étape 3 – Construction du barycentre $G_1$ du système (I) (Question 2).

On utilise la méthode des barycentres partiels. On regroupe d'abord $A$ et $B$ :

Soit $H$ le barycentre de $\{(A,3),(B,-1)\}$. La somme partielle vaut $3+(-1)=2\ne 0$, donc $H$ existe et vérifie :

Plus précisément, $H$ est défini par $3\overrightarrow{HA}+(-1)\overrightarrow{HB}=\vec{0}$, soit $\overrightarrow{AH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \frac{1}{3+(-1)}$. Appliquons la formule correcte :

Puis $G_1$ est le barycentre de $\{(H,2),(C,2)\}$, donc $G_1$ est le milieu de $HC$.

En résumé : on place $H$ sur $[AB]$ tel que $\overrightarrow{AH}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (c'est-à-dire $H$ à l'extérieur de $[AB]$ du côté de $A$), puis $G_1$ est le milieu de $[HC]$.

Étape 4 – Interprétation géométrique quand la somme est nulle (Question 3).

On considère le vecteur $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}$ pour un point quelconque $M$.

La somme des coefficients est $3+2+(-5)=0$. Lorsque la somme des coefficients est nulle, le vecteur $\overrightarrow{v}$ est indépendant du point $M$ choisi. En effet, si l'on remplace $M$ par un autre point $M^{\prime }$, on obtient :

Ainsi $\overrightarrow{v}$ est un vecteur fixe du plan, ne dépendant que des positions relatives de $A$, $B$, $C$ et non du point $M$. C'est la signification géométrique fondamentale d'une somme de coefficients nulle : on obtient un vecteur libre, pas un point.

Étape 5 – Question 4 : invariance du barycentre par multiplication des coefficients.

On veut montrer que $G_1$, barycentre de $\{(A,3),(B,-1),(C,2)\}$, est aussi le barycentre de $\{(A,6),(B,-2),(C,4)\}$.

Par définition, $G_1$ est le barycentre de $\{(A,3),(B,-1),(C,2)\}$ si et seulement si :

En multipliant les deux membres par $2$ :

Cette dernière égalité signifie exactement que $G_1$ est le barycentre de $\{(A,6),(B,-2),(C,4)\}$. La somme des coefficients du nouveau système est $6+(-2)+4=8\ne 0$, ce qui confirme l'existence.

Interprétation : Multiplier tous les coefficients d'un système par un même réel non nul ne change pas le barycentre. Cela illustre que seuls les rapports entre les coefficients déterminent la position du barycentre.