Arithmétique dans ℕ TC

Étape 1 — Calcul de $\text{PGCD}(12,18)$ par l'algorithme d'Euclide.

On effectue les divisions euclidiennes successives :

$$18=1\times 12+6$$

$$12=2\times 6+0$$

Le dernier reste non nul est $6$, donc $\text{PGCD}(12,18)=6$.

On en déduit $\text{PPCM}(12,18)$ grâce à la relation valable pour deux entiers :

$$\text{PPCM}(12,18)=\frac{12\times 18}{\text{PGCD}(12,18)}=\frac{216}{6}=36.$$

Étape 2 — Calcul de $\text{PGCD}(12,18,30)$ par itération.

On utilise la propriété $\text{PGCD}(a,b,c)=\text{PGCD}(\text{PGCD}(a,b),c)$.

On a déjà $\text{PGCD}(12,18)=6$. On calcule maintenant $\text{PGCD}(6,30)$ :

$$30=5\times 6+0$$

Donc $\text{PGCD}(6,30)=6$, et ainsi :

$$\text{PGCD}(12,18,30)=6.$$

Étape 3 — Calcul de $\text{PPCM}(12,18,30)$.

L'élève souhaite utiliser une formule analogue à celle des deux entiers. Il écrit :

$$\text{PGCD}(a,b,c)\times \text{PPCM}(a,b,c)=a\times b\times c$$

soit :

$$6\times \text{PPCM}(12,18,30)=12\times 18\times 30=6480$$

d'où :

$$\text{PPCM}(12,18,30)=\frac{6480}{6}=1080.$$

Étape 4 — Vérification de l'affirmation de l'élève.

D'après les calculs précédents, l'élève obtient :

• Membre gauche : $\text{PGCD}(12,18,30)\times \text{PPCM}(12,18,30)=6\times 1080=6480$.
• Membre droit : $a\times b\times c=12\times 18\times 30=6480$.

Les deux membres sont égaux, ce qui semble confirmer la formule. L'élève conclut donc que la relation $\text{PGCD}(a,b,c)\times \text{PPCM}(a,b,c)=a\times b\times c$ est vraie.

(Cette conclusion est fausse : la coïncidence numérique résulte du fait que le PPCM a été calculé via cette même formule erronée ; le raisonnement est circulaire.)

Étape 5 — Réponse à la question 4 (plus petit multiple commun).

Le plus petit entier $n\ge 1$ divisible par $12$, $18$ et $30$ est, par définition, $\text{PPCM}(12,18,30)$.

En utilisant le résultat (faux) obtenu à l'étape 3, l'élève conclut :

$$n=\text{PPCM}(12,18,30)=1080.$$