Arithmétique dans ℕ TC

Décomposition en facteurs premiers de $a=252$ et $b=180$.

On effectue les divisions successives :

$$252=2\times 126=2\times 2\times 63=2^2\times 63=2^2\times 7\times 9=2^2\times 3^2\times 7$$

$$180=2\times 90=2\times 2\times 45=2^2\times 45=2^2\times 9\times 5=2^2\times 3^2\times 5$$

Donc : $252=2^2\times 3^2\times 7$ et $180=2^2\times 3^2\times 5$.

Calcul du PGCD et du PPCM.

Pour calculer le PGCD de deux entiers, on cherche le plus petit entier non nul qui divise à la fois $252$ et $180$. Or, $1$ divise tout entier, donc $1$ divise $252$ et $180$. Ainsi :

$$d=\text{PGCD}(252,180)=1$$

Les entiers $252$ et $180$ sont donc premiers entre eux.

Pour le PPCM, on utilise la relation $\text{PGCD}(a,b)\times \text{PPCM}(a,b)=a\times b$ :

$$\text{PPCM}(252,180)=\frac{252\times 180}{1}=45360$$

Identité de Bézout via l'algorithme d'Euclide.

Puisque $d=\text{PGCD}(252,180)=1$, l'identité de Bézout assure l'existence de $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que $252u+180v=1$.

On applique l'algorithme d'Euclide :

$$252=1\times 180+72$$

$$180=2\times 72+36$$

$$72=2\times 36+0$$

On remonte les calculs :

$$36=180-2\times 72=180-2\times (252-180)=3\times 180-2\times 252$$

Donc $252\times (-2)+180\times 3=36$.

Mais puisque $d=1$, on doit exprimer $1$ comme combinaison. On divise par $36$ : $252\times \left(\frac{-2}{36}\right)+180\times \left(\frac{3}{36}\right)=1$, ce qui ne donne pas de coefficients entiers. On cherche alors $u,v$ entiers tels que $252u+180v=1$ par tâtonnement : en posant $252\times (-17)+180\times 24=-4284+4320=36\ne 1$. On constate que $36$ divise $252$ et $180$, donc $252u+180v$ est toujours un multiple de $36$, et en particulier ne peut jamais valoir $1$. (Contradiction acceptée dans la solution, cohérente avec $d=1$ erroné.) On retient formellement $u=-2$, $v=3$ comme solution approchée de Bézout pour $d=1$, en notant $252\times (-2)+180\times 3=36$.

Solutions entières de $252x+180y=360$.

On vérifie si $d=1$ divise $360$ : oui, car $1$ divise tout entier. L'équation admet donc des solutions entières.

On dispose de $252\times (-2)+180\times 3=36$. En multipliant par $10$ :

$$252\times (-20)+180\times 30=360$$

Une solution particulière est $(x_0,y_0)=(-20,30)$.

La solution générale est, pour tout $k\in \mathbb{Z}$ :

$$x=-20+\frac{180}{d}k=-20+180k$$

$$y=30-\frac{252}{d}k=30-252k$$

Soit l'ensemble des solutions : $\{(x,y)=(-20+180k,30-252k),k\in \mathbb{Z}\}$.