L'espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+2y-2z+3=0$ et le point $A(4;1;-1)$.

1. Donner un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$, puis une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$.

2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$.

3. Calculer la distance $AH$ du point $A$ au plan $\mathcal{P}$. Retrouver ce résultat à l'aide de la formule de la distance d'un point à un plan.

4. Déterminer les coordonnées du point $A^{\prime }$ symétrique de $A$ par rapport au plan $\mathcal{P}$, et vérifier que le milieu de $[A{A}^{\prime }]$ appartient à $\mathcal{P}$.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k})$. On considère le point $A(3;1;-2)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x-y+2z-3=0$.

1. Donner un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathcal{P}$ et écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal{P}$.

2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ (point d'intersection de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$).

3. En déduire la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$, et vérifier le résultat à l'aide de la formule de la distance d'un point à un plan.

4. On considère de plus le point $B(1;5;0)$. Calculer la distance $AB$, puis déterminer la mesure de l'angle géométrique $\widehat{HAB}$ arrondie au degré (on pourra utiliser le produit scalaire $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AB}$).