Variables aléatoires — Résumé de cours

1ère Année Collège — Lumaths.ma

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Loi, espérance, variance

Une variable aléatoire $X$ associe un réel à chaque issue. Espérance $E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$ , variance $V (X)$ et écart-type $σ (X) = V (X)$ .

Épreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli et loi binomiale $B (n, p)$ .

🔑 Formules clés à retenir

$E (X) = \sum x_{i} P (X = x_{i})$ .

Variables aléatoires — Fiche d'exercices

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Exercices Faciles

1 exercices

Loi de probabilité et espérance d'un jeu de dé

Facile

Énoncé

On lance un dé cubique équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ . Un joueur définit son gain (en euros) par la variable aléatoire $X$ ainsi :

• si le résultat est $6$ , il gagne $5$ euros ;
• si le résultat est $1$ , il perd $3$ euros ;
• pour tout autre résultat ( $2$ , $3$ , $4$ ou $5$ ), il gagne $1$ euro.

1. Déterminer les valeurs prises par $X$ et donner sa loi de probabilité.
2. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
3. Calculer l'espérance $E (X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?

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Exercices Intermédiaires

1 exercices

Variance et écart-type d'un tirage de jetons

Intermédiaire

Énoncé

Une urne contient $10$ jetons indiscernables au toucher : $5$ jetons portent le numéro $0$ , $3$ jetons portent le numéro $2$ et $2$ jetons portent le numéro $5$ . On tire au hasard un jeton et on note $X$ le numéro obtenu.

1. Établir la loi de probabilité de $X$ et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
2. Calculer l'espérance $E (X)$ .
3. Calculer la variance $V (X)$ , puis l'écart-type $σ (X)$ (valeur arrondie au centième).

Ma réponse

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Exercices Difficiles

1 exercices

Schéma de Bernoulli et loi binomiale lors d'un QCM

Difficile

Énoncé

Un QCM comporte $6$ questions indépendantes. Pour chaque question, $4$ réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un candidat répond entièrement au hasard à chacune des $6$ questions. On note $X$ le nombre de bonnes réponses obtenues.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que le candidat ne donne aucune bonne réponse (arrondir au millième).
3. Calculer la probabilité qu'il donne exactement $2$ bonnes réponses (arrondir au millième).
4. Déterminer l'espérance $E (X)$ et interpréter le résultat.

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