Vecteurs & colinéarité

🎛️ Manipule : aligne les deux vecteurs

Fais tourner $v$ et regarde le déterminant. Quand il vaut 0, les vecteurs sont colinéaires.

Angle de

u

: 35° Norme de

u

: 3.0

Angle de

v

: 95° Norme de

v

: 2.5

Coordonnées

u=(2.46, 1.72)
v=(-0.22, 2.49)

Déterminant

6.51

Coefficient k

—

NON COLINÉAIRES

det = 6.51 ≠ 0 : les vecteurs pointent dans des directions différentes. Rapproche les angles…

🧭 Un vecteur, c'est un déplacement

Un vecteur $u$ ne décrit pas un point, mais un déplacement : une direction, un sens et une longueur (sa norme). On peut le poser n'importe où dans le plan : seul son « mouvement » compte. Deux flèches parallèles, de même sens et même longueur, représentent le même vecteur.

Dans un repère, un vecteur se résume à ses coordonnées. Si $u$ avance de $x_{u}$ vers la droite et de $y_{u}$ vers le haut, on écrit :

$u (x_{u} y_{u})$

➕ Calculer avec les vecteurs

Tout se fait coordonnée par coordonnée. La somme de deux vecteurs :

$u + v = (x_{u} + x_{v} y_{u} + y_{v})$

Et la multiplication par un réel $k$ étire (ou rétrécit) le vecteur sans changer sa direction :

$k u = (k x_{u} k y_{u})$

Si $k > 0$ , le vecteur garde son sens ; si $k < 0$ , il pointe dans le sens opposé ; si $k = 0$ , on obtient le vecteur nul $0$ .

📏 La colinéarité : même direction

Deux vecteurs $u$ et $v$ (non nuls) sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction : ils sont parallèles. Géométriquement, l'un est un agrandissement, une réduction ou un retournement de l'autre.

Définition : $u$ et $v$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ . Le nombre $k$ est le coefficient de colinéarité : il dit « combien de fois » $v$ vaut $u$ .

Problème : chercher ce $k$ à la main est pénible. Existe-t-il un seul nombre qui détecte instantanément la colinéarité ? Oui : le déterminant.

🔑 Le critère du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs $u (x_{u}, y_{u})$ et $v (x_{v}, y_{v})$ est le nombre :

$det (u, v) = x_{u} y_{v} - x_{v} y_{u}$

Pourquoi ça marche ? La valeur absolue du déterminant mesure l'aire du parallélogramme construit sur $u$ et $v$ . Si les deux vecteurs sont parallèles, ce parallélogramme est aplati : son aire vaut $0$ , donc le déterminant aussi.

📐 Points alignés et droites parallèles

La colinéarité est l'outil qui répond à deux questions de géométrie très classiques au lycée.

Trois points alignés. Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $A B$ et $A C$ sont colinéaires :

$A, B, C$ alignés ⟺ $det (A B, A C) = 0$

Droites parallèles. Deux droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $A B$ et $C D$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $det (A B, C D) = 0$ .

🧪 Un exemple chiffré

Prenons $u (2, 3)$ et $v (6, 9)$ . Calculons le déterminant :

$det (u, v) = 2 \times 9 - 6 \times 3 = 18 - 18 = 0$

Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires. Et le coefficient ? Comme $6 = 3 \times 2$ et $9 = 3 \times 3$ , on a $v = 3 u$ , donc $k = 3$ . En revanche, pour $u (2, 3)$ et $w (6, 8)$ , on trouve $det = 2 \times 8 - 6 \times 3 = 16 - 18 = - 2 \neq = 0$ : ces deux-là ne sont pas colinéaires.

🎓 Le lien avec ton programme bac

La colinéarité, vue en Seconde, est la fondation de toute la géométrie repérée que tu retrouveras en Première et au-delà :

Vecteur directeur d'une droite : une droite est entièrement décrite par un point et un vecteur directeur
Équations de droites : l'équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ a pour vecteur directeur $(- b, a)$
Parallélisme : deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
Produit scalaire (Première) : le compagnon du déterminant, qui détecte cette fois l'orthogonalité
Géométrie dans l'espace (Terminale) : colinéarité, coplanarité, bases de l'espace

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Vecteurs & colinéarité

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