Suites récurrentes : la convergence

🕸️ Manipule : la toile d'araignée vers le point fixe

Choisis la fonction f et le premier terme $u_{0}$ . Regarde l'escalier se construire entre la courbe et la diagonale.

Fonction f :

Premier terme

u_{0}

: 0.000 Nombre d'itérations : 8

Premiers termes

u₀ = 0.500…

Point fixe ℓ = f(ℓ)

ℓ = 3.000

f(x) = (x+3)/2 est contractante : la toile s'enroule en escalier vers le point fixe ℓ = 3.

🌀 Une suite qui se mord la queue

Au collège, tu as vu des suites où chaque terme se calcule à partir de son rang : $u_{n} = 2 n + 1$ . Mais en Terminale apparaît une bête bien plus subtile : une suite où chaque terme dépend du précédent.

On se donne une fonction $f$ et un premier terme $u_{0}$ , puis on applique la règle :

$u_{n + 1} = f (u_{n})$

Autrement dit : on calcule $u_{1} = f (u_{0})$ , puis $u_{2} = f (u_{1})$ , puis $u_{3} = f (u_{2})$ … On réinjecte la sortie comme nouvelle entrée. La grande question de Terminale : où va cette suite ? Vers un nombre précis ? Vers l'infini ? En tournant en rond ?

Le piège : contrairement à $u_{n} = 2 n + 1$ , tu ne peux PAS calculer $u_{100}$ directement. Il faut connaître $u_{99}$ , donc $u_{98}$ … C'est une réaction en chaîne. Pour comprendre où elle mène, on passe au graphique.

🎯 Le point fixe : là où la suite peut s'arrêter

Imagine que la suite finisse par se stabiliser sur une valeur $ℓ$ . Alors, à partir d'un certain rang, $u_{n} \approx ℓ$ ET $u_{n + 1} \approx ℓ$ . Comme $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , on obtient :

$ℓ = f (ℓ)$

Une telle valeur $ℓ$ s'appelle un point fixe de $f$ : la fonction la laisse inchangée. Graphiquement, c'est exactement l'intersection de la courbe $y = f (x)$ avec la première bissectrice $y = x$ . C'est le seul endroit où une suite récurrente peut converger.

🕸️ La toile d'araignée : lire la suite sur le graphe

Voici l'astuce géniale pour voir une suite récurrente. On trace la courbe $y = f (x)$ et la diagonale $y = x$ . Partant de $u_{0}$ sur l'axe des abscisses, on construit un chemin en deux mouvements répétés :

Verticalement jusqu'à la courbe : on monte (ou descend) de $u_{n}$ jusqu'au point $(u_{n}, f (u_{n}))$ . La hauteur atteinte est $u_{n + 1}$ .
Horizontalement jusqu'à la diagonale : on reporte cette hauteur $u_{n + 1}$ sur l'axe des abscisses, prêt pour le tour suivant.

En répétant, on dessine soit un escalier (suite monotone), soit une spirale qui s'enroule (suite oscillante). Si le chemin converge vers l'intersection, la suite converge vers le point fixe : c'est la « toile d'araignée ». Manipule la figure ci-dessus pour le constater.

📉 Quand ça converge : le rôle de $∣ f^{'} (ℓ) ∣$

Tout se joue sur la pente de $f$ près du point fixe. À chaque itération, l'écart à $ℓ$ est multiplié approximativement par $f^{'} (ℓ)$ :

$u_{n + 1} - ℓ \approx f^{'} (ℓ) (u_{n} - ℓ)$

Si $∣ f^{'} (ℓ) ∣ < 1$ : l'écart rétrécit à chaque pas. Le point fixe est attractif, la suite converge (escalier ou spirale qui se resserre).
Si $∣ f^{'} (ℓ) ∣ > 1$ : l'écart grandit. Le point fixe est répulsif, la suite s'en échappe (sauf si $u_{0} = ℓ$ pile).
Si $0 < f^{'} (ℓ) < 1$ : convergence en escalier monotone. Si $- 1 < f^{'} (ℓ) < 0$ : convergence en spirale (la suite oscille autour de $ℓ$ ).

Une fonction telle que $∣ f^{'} (x) ∣ \leq k < 1$ partout est dite contractante : c'est le cas de $f (x) = \frac{x + 3}{2}$ dont $f^{'} (x) = \frac{1}{2}$ , qui converge depuis n'importe quel $u_{0}$ .

🪜 Une démonstration type : monotonie + bornée

Au bac, on ne se contente pas de « voir » la toile : on démontre la convergence. La méthode reine utilise le théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge (et toute suite décroissante et minorée converge). Prenons $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ avec $u_{0} = 0$ :

Bornée : par récurrence, on montre que $0 \leq u_{n} \leq 2$ pour tout $n$ . En effet si $0 \leq u_{n} \leq 2$ , alors $2 \leq u_{n} + 2 \leq 4$ , donc $2 \leq u_{n + 1} \leq 2$ : la propriété se transmet.
Monotone : on étudie le signe de $u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} + 2 - u_{n}$ . Sur $[0, 2]$ , on a $f (x) \geq x$ , donc la suite est croissante.
Conclusion : croissante et majorée par $2$ , donc $(u_{n})$ converge vers une limite $ℓ$ .
Valeur de la limite : $f$ est continue, donc $ℓ = f (ℓ) = ℓ + 2$ . En élevant au carré : $ℓ^{2} = ℓ + 2$ , soit $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , dont les racines sont $- 1$ et $2$ . Comme $ℓ \geq 0$ , on conclut $ℓ = 2$ .

🔧 Le lien avec la méthode du point fixe

Cette idée dépasse largement le lycée : c'est la méthode du point fixe, un algorithme fondamental pour résoudre numériquement des équations. Pour résoudre $g (x) = 0$ , on la réécrit sous la forme $x = f (x)$ , puis on itère $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Si $f$ est contractante, la suite converge vers la solution.

C'est ainsi qu'une calculatrice approche $2$ , qu'un GPS résout ses équations, ou qu'un moteur de rendu 3D calcule des éclairages. Le théorème du point fixe de Banach (1922) garantit, sous la condition de contraction, l'existence et l'unicité du point fixe ET la convergence depuis n'importe quel point de départ.

🎓 Le lien avec ton programme bac

Les suites récurrentes sont un incontournable de l'épreuve de Terminale. Tu y mobilises presque tout le programme d'analyse :

Récurrence : pour prouver qu'une suite est bornée ou monotone.
Théorème de la limite monotone : croissante + majorée ⟹ convergente.
Continuité & point fixe : la limite vérifie $ℓ = f (ℓ)$ .
Dérivation : le signe de $f (x) - x$ et la valeur de $∣ f^{'} (ℓ) ∣$ donnent monotonie et vitesse de convergence.
Inégalité & encadrement : souvent $∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ \leq k ∣ u_{n} - ℓ ∣$ pour majorer l'erreur, puis le théorème des gendarmes.

Maîtriser la toile d'araignée, c'est avoir une intuition visuelle qui t'évite de te tromper de signe dans une démonstration de trois pages. Tu vois d'abord où va la suite, puis tu le prouves.

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Suites récurrentes : la convergence

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📉 Quand ça converge : le rôle de ∣f′(ℓ)∣

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📉 Quand ça converge : le rôle de $∣ f^{'} (ℓ) ∣$