🐰 Une équation pour compter des lapins
Imagine une population de lapins dans une prairie fermée. Chaque année, on note la population — non pas en nombre brut, mais en proportion du maximum possible. On pose donc xn entre 0 et 1 : xn = 0 signifie « plus aucun lapin » et xn = 1 « la prairie est saturée ».
Deux forces s'opposent. D'un côté, la reproduction : plus il y a de lapins, plus il en naît, ce qui pousse à multiplier par un taux r. De l'autre, les ressources limitées : quand la prairie se remplit, la nourriture manque et la population s'effondre, ce que traduit le facteur (1 − xn) qui freine la croissance à l'approche de la saturation. On obtient la suite logistique :
xn+1 = r · xn · (1 − xn)
avec x0 = 0,5 et r un paramètre (le « taux de fertilité ») entre 0 et 4.
C'est l'écologiste Robert May qui, dans un article retentissant de 1976 (revue Nature), montre que cette suite d'apparence inoffensive cache l'un des comportements les plus profonds des mathématiques. Une règle simple, déterministe, avec une seule multiplication : et pourtant, le chaos est au bout du chemin.
🎛️ Le diagramme de bifurcation — joue avec r
Voici l'objet star de ce concept. En abscisse, le paramètre r ; en ordonnée, les valeurs vers lesquelles la suite finit par se rassembler (son attracteur). Déplace le curseur : à gauche, une seule branche (la suite se stabilise). Puis elle se dédouble : 2 branches, 4, 8… et à droite, un nuage de points : le chaos.
🦋 Diagramme de bifurcation en direct
Chaque colonne de pixels correspond à un r. On itère 600 fois, on jette le transitoire, puis on trace l'attracteur.
La suite pour ce r (escalier des 30 premières valeurs, x0 = 0,5)
🔱 Le doublement de période
Suivons l'histoire en augmentant r :
- r < 1 : la population s'éteint, xn → 0. Trop peu de naissances.
- 1 ≤ r < 3 : la suite converge vers une valeur d'équilibre unique x* = 1 − 1/r. Une seule branche.
- 3 ≤ r < 3,449 : l'équilibre devient instable ! La suite se met à osciller entre 2 valeurs (cycle de période 2) : petite année, grande année, petite année…
- 3,449 ≤ r < 3,544 : chaque branche se redédouble → cycle de période 4.
- Puis 8, 16, 32… les dédoublements s'enchaînent de plus en plus vite.
- r ≈ 3,5699… : le point d'accumulation. Au-delà, c'est le chaos.
Ce scénario s'appelle la cascade de doublement de période. Chaque dédoublement est une bifurcation : une valeur de r où le comportement qualitatif de la suite change brutalement.
✨ La constante de Feigenbaum — un miracle d'universalité
Notons r1, r2, r3… les valeurs de r où surviennent les dédoublements (vers les cycles 2, 4, 8…). Les écarts entre bifurcations successives rétrécissent géométriquement. Mitchell Feigenbaum a mesuré le rapport en 1975 :
(rn − rn−1) / (rn+1 − rn) → δ ≈ 4,669201…
Cette constante δ est appelée constante de Feigenbaum.
🌀 L'entrée dans le chaos
Pour r > 3,57, l'attracteur n'est plus un cycle fini mais un nuage de points qui remplit des intervalles entiers. La suite ne se répète jamais, et surtout elle devient sensible aux conditions initiales : deux valeurs de départ x0 presque identiques produisent, après quelques dizaines de termes, des trajectoires totalement différentes. C'est l'effet papillon, ici sur une simple suite récurrente.
Sur le diagramme, mets r ≈ 3,9 : la suite affichée en escalier saute partout sans logique apparente. Pourtant, aucune part de hasard : la même formule, le même x0, redonnent exactement la même suite. Le chaos est déterministe.
🪟 Les fenêtres de retour à l'ordre
Regarde bien la zone chaotique : elle n'est pas uniforme. Vers r ≈ 3,829, une bande verticale claire apparaît : le nuage se réduit soudain à 3 branches. C'est une fenêtre de stabilité — un cycle de période 3 émerge au cœur du chaos ! Puis ce cycle 3 se dédouble à son tour (3, 6, 12…) et le chaos revient.
Le théorème de Sharkovskii (1964) et le célèbre résultat de Li & Yorke « période 3 implique chaos » (1975) disent une chose extraordinaire : dès qu'une suite récurrente possède un cycle de période 3, alors elle possède des cycles de toutes les périodes possibles, et un comportement chaotique. La présence d'un cycle 3 est la signature du chaos.
🎓 Le lien avec ton programme 2BAC SM
La suite logistique mobilise exactement les outils du chapitre suites :
- Suite récurrente xn+1 = f(xn) avec f(x) = r·x·(1 − x) : une parabole, fonction du second degré que tu sais étudier.
- Points fixes : résoudre f(x) = x donne x = 0 et x* = 1 − 1/r. Ce sont les candidats limites de la suite.
- Stabilité : un point fixe attire la suite si | f ′(x*) | < 1, et la repousse si | f ′(x*) | > 1. Ici f ′(x*) = 2 − r : la condition | 2 − r | < 1 donne précisément 1 < r < 3. C'est exactement la frontière où la première bifurcation se produit !
- Représentation en escalier : la construction graphique que tu fais en TD (tracer y = f(x) et y = x, puis « rebondir ») est celle du petit graphe ci-dessus.
- Convergence / divergence : monotonie, cycles, divergence — tous les comportements du cours apparaissent selon r.
Autrement dit : avec une fonction du second degré et le critère de stabilité | f ′(x*) | < 1, tu démontres toi-même le tout début du diagramme. Le reste — Feigenbaum, Sharkovskii — est le prolongement vertigineux de ce que tu apprends cette année.
🧠 Réflexion finale
La suite logistique est sans doute le plus bel exemple de l'idée que la complexité peut naître de règles d'une simplicité extrême. Une multiplication, une parabole : et l'on touche à l'imprévisibilité fondamentale de l'univers, à des constantes universelles, à un ordre caché dans le désordre.
Robert May concluait son article de 1976 par un appel : que chacun apprenne, dès l'école, que des équations simples peuvent avoir un comportement effroyablement compliqué. C'est, à sa manière, ce que t'offre cette page de l'Atlas.