Probabilités conditionnelles & arbre pondéré

🎛️ Manipule : l'arbre pondéré en direct

Règle d'or : on multiplie le long d'une branche, on additionne les chemins qui mènent au même événement.

P(A) : 0.30

P(B|A) : 0.80

P(B|Ā) : 0.10

P(A ∩ B) = produit

0.240

P(B) = somme chemins

0.310

P(A|B) = inversée

0.774

Le long de chaque branche on multiplie ; pour obtenir P(B) on additionne les deux chemins (A→B et Ā→B).

🎲 Quand savoir change tout

Tu tires une carte d'un jeu de 52. La probabilité d'avoir un roi est $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Maintenant, quelqu'un te dit : « c'est une figure ». Brusquement, il ne reste que 12 cartes possibles (valets, dames, rois), dont 4 rois. La probabilité d'avoir un roi passe à $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ .

L'information « c'est une figure » a changé la probabilité. C'est tout le sujet : une probabilité conditionnelle est une probabilité recalculée à la lumière d'une information connue.

L'idée clé : on ne change pas le hasard, on change l'univers. Savoir que $A$ s'est produit, c'est se restreindre au « monde où $A$ est vrai » et y recompter les chances de $B$ .

📐 La définition rigoureuse

Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_{A} (B)$ (ou $P (B ∣ A)$ ), se définit par :

P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}

On divise par $P (A)$ parce qu'on se place dans l'univers où $A$ est réalisé : $A$ devient notre nouveau « tout », de probabilité ramenée à $1$ . La part de cet univers qui réalise aussi $B$ , c'est exactement $P (A \cap B)$ .

En réarrangeant, on obtient la formule des probabilités composées, qui est la règle du produit le long d'une branche :

P(A\cap B)=P(A)\,\times\,P_A(B)

🌳 L'arbre pondéré : la machine à raisonner

L'arbre pondéré est l'outil officiel du programme pour organiser tout ça. On le lit de gauche à droite. Au premier niveau, les branches portent $P (A)$ et $P (\overset{ˉ}{A})$ . Sous chaque branche, le second niveau porte les probabilités conditionnelles : $P_{A} (B)$ , $P_{A} (\overset{ˉ}{B})$ , puis $P_{\overset{ˉ}{A}} (B)$ , $P_{\overset{ˉ}{A}} (\overset{ˉ}{B})$ .

Les trois règles d'or de l'arbre :

Somme à chaque nœud = 1. Les branches issues d'un même point se complètent : $P (A) + P (\overset{ˉ}{A}) = 1$ et $P_{A} (B) + P_{A} (\overset{ˉ}{B}) = 1$ .
Produit le long d'un chemin. La probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités rencontrées : chemin $A \to B$ donne $P (A) \times P_{A} (B) = P (A \cap B)$ .
Somme des chemins. La probabilité d'un événement du second niveau est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.

➕ La formule des probabilités totales

L'événement $B$ peut survenir de deux façons : soit en passant par $A$ , soit en passant par $\overset{ˉ}{A}$ . Comme $A$ et $\overset{ˉ}{A}$ forment une partition de l'univers (l'un ou l'autre, jamais les deux), on additionne les deux chemins qui mènent à $B$ :

P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=P(A)\,P_A(B)+P(\bar A)\,P_{\bar A}(B)

C'est exactement le calcul que fait la visualisation ci-dessus pour la case P(B) : on remonte les deux chemins menant à $B$ et on les additionne.

🔁 Renverser le conditionnement

Attention au piège central du chapitre : $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$ sont deux choses différentes ! Confondre « la probabilité d'être malade sachant qu'on est positif » avec « la probabilité d'être positif sachant qu'on est malade » est l'erreur la plus fréquente. Pour passer de l'une à l'autre, on combine la définition et les probabilités totales :

P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(A)\,P_A(B)}{P(A)\,P_A(B)+P(\bar A)\,P_{\bar A}(B)}

C'est la case P(A|B) de la visualisation. En 2026, cette formule a un nom célèbre : la formule de Bayes, que tu retraduiras explicitement en Terminale.

🧪 Un exemple entièrement traité : le test médical

Une maladie touche 1 % de la population : $P (M) = 0, 01$ , donc $P (\overset{ˉ}{M}) = 0, 99$ . On dispose d'un test :

S'il est positif chez un malade dans 95 % des cas : $P_{M} (T) = 0, 95$ (sensibilité).
Il est positif chez un bien-portant dans 5 % des cas : $P_{\overset{ˉ}{M}} (T) = 0, 05$ (faux positifs).

Construisons l'arbre et calculons. Produit le long des branches (probabilités composées) :

Chemin « malade et positif » : $P (M \cap T) = 0, 01 \times 0, 95 = 0, 0095$ .
Chemin « sain et positif » : $P (\overset{ˉ}{M} \cap T) = 0, 99 \times 0, 05 = 0, 0495$ .

Somme des chemins menant à $T$ (probabilités totales) :

P(T)=0,0095+0,0495=0,059

Question piège : tu es positif. Quelle est la probabilité d'être réellement malade, $P_{T} (M)$ ? On renverse le conditionnement :

P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,0095}{0,059}\approx 0,161

🔓 Quand l'information ne change rien : l'indépendance

Parfois, savoir que $A$ s'est produit ne change rien à la probabilité de $B$ . On dit alors que $A$ et $B$ sont indépendants. Formellement :

$A$ et $B$ indépendants $⟺ P_{A} (B) = P (B) ⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$

Exemple : deux lancers de dé successifs. Le résultat du premier ne renseigne en rien sur le second ; $P (6 au 2e ∣ 6 au 1er) = P (6 au 2e) = \frac{1}{6}$ . À l'inverse, « tirer une figure » et « tirer un roi » dans un jeu de cartes ne sont pas indépendants : l'un renseigne sur l'autre, comme on l'a vu au début.

🎓 Le lien avec ton programme bac

Ce chapitre est un socle qui irrigue tout le reste des probabilités au lycée :

Première : probabilité conditionnelle, arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance.
Loi binomiale : répétition d'épreuves indépendantes et identiques — l'indépendance vue ici en est la clé de voûte.
Terminale : la formule de Bayes formalise le « renversement du conditionnement » qu'on a calculé dans l'exemple du test médical.
Variables aléatoires : espérance et loi d'une variable s'appuient sur ces probabilités élémentaires.
Au-delà : en sciences, médecine, IA, le raisonnement bayésien (« mettre à jour une croyance avec une donnée nouvelle ») est partout. Tout part de $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .

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