🐢 Achille, la tortue, et la somme infinie qui s'arrête
À chaque bond, Achille parcourt la moitié de la distance restante : 1/2, puis 1/4, puis 1/8… Fais glisser le nombre d'étapes et regarde la somme partielle ramper vers 1 sans jamais le dépasser.
1/2 + 1/4 + 1/8 + … + (1/2)n — une infinité de termes, une distance finie.
Somme partielle Sn
0.984375
Reste (1/2)n
0.015625
Limite
S∞ = 1
Après 6 bonds, Achille est à 0.984375 de la ligne — il reste 0.015625 à franchir. Il s'approche sans jamais dépasser… mais la SOMME des temps est finie.
🏛️ Zénon d'Élée et l'arme de l'absurde
Vers 450 av. J.-C., le philosophe grec Zénon d'Élée, disciple de Parménide, invente une série de paradoxes pour défendre une thèse vertigineuse : le mouvement serait une illusion. Sa méthode est le raisonnement par l'absurde — partir d'une hypothèse de bon sens et la pousser jusqu'à une conclusion impossible.
Le plus célèbre met en scène Achille, le plus rapide des héros, et une tortue à qui l'on accorde une longueur d'avance. Zénon prétend démontrer qu'Achille ne la rattrapera jamais.
🐢 L'énoncé : Achille et la tortue
Donnons à la tortue une avance. Achille court vers l'endroit où elle se trouve. Mais le temps qu'il y arrive, la tortue a un peu avancé. Achille court alors vers ce nouveau point — et de nouveau, la tortue a progressé. À chaque fois qu'Achille atteint la position précédente de la tortue, celle-ci s'est légèrement déplacée.
Le rattrapage exige donc de franchir une infinité d'étapes. Et puisqu'on ne peut pas, selon Zénon, accomplir une infinité de tâches en un temps fini, Achille n'attrapera jamais la tortue. Pour fixer les idées, modélisons : à chaque étape, Achille parcourt la moitié de la distance restante. Les distances forment alors la suite 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Le paradoxe de la dichotomie (même famille)
Avant de parcourir 1, il faut d'abord parcourir 1/2 ; mais avant 1/2, il faut faire 1/4 ; avant
1/4, faire 1/8… Il y a donc une infinité de demi-distances à franchir avant même de bouger.
Conclusion de Zénon : le mouvement ne peut même pas commencer.
💡 La résolution : une somme infinie… qui est finie
Zénon a raison sur un point : il y a bien une infinité d'étapes. Son erreur est de croire qu'une somme d'une infinité de termes est forcément infinie. Calculons :
S = ½ + ¼ + ⅛ + 1/16 + … = Σk=1∞ (½)k = 1
Bien que les termes soient infiniment nombreux, leur somme vaut exactement 1. Achille parcourt une distance finie, en un temps fini : il rattrape la tortue. Le paradoxe se dissout dès qu'on admet qu'une infinité de quantités décroissantes peut avoir une somme finie.
📐 Le cœur 2BAC SM : la série géométrique convergente
Ce calcul est exactement au programme de 2BAC SM. La somme de Zénon est une série géométrique de premier terme 1/2 et de raison q = 1/2. La somme partielle des n premiers termes s'écrit :
Sn = ½ · (1 − (½)n) / (1 − ½) = 1 − (½)n
Comme la raison vérifie |q| < 1, on a (1/2)n → 0 quand n → +∞. Donc la suite des sommes partielles converge :
limn→∞ Sn = limn→∞ (1 − (½)n) = 1
On retrouve ici les trois piliers du chapitre Limites & séries : la série géométrique (Σ qk converge ssi |q| < 1, avec somme (1)/(1-q) à partir du rang 0), la notion de somme partielle Sn, et le passage à la limite. Le « reste » (1/2)n = 1 − Sn mesure précisément ce qui sépare encore Achille de la tortue : il tend vers 0, mais ne s'annule jamais pour un n fini — d'où l'illusion de Zénon.
🏺 Pourquoi les Grecs n'ont pas pu trancher
Le génie de Zénon est aussi sa limite : les mathématiciens grecs n'avaient pas la notion de limite. Pour eux, additionner une infinité de nombres était une opération suspecte, voire interdite. Ils raisonnaient avec des grandeurs géométriques finies et redoutaient l'infini actuel.
Il a fallu attendre près de deux mille ans — Newton et Leibniz au XVIIe siècle, puis surtout Cauchy et Weierstrass au XIXe avec la définition rigoureuse de la limite (les fameux ε, N) — pour donner un sens précis à « Sn tend vers 1 ». Le paradoxe de Zénon n'était pas une erreur de logique : c'était l'annonce, 2300 ans à l'avance, d'un concept qui manquait encore.