💰 La citation d'Einstein
« Les intérêts composés sont la huitième merveille du monde. Celui qui comprend gagne ; celui qui ne comprend pas paye. » — citation attribuée à Albert Einstein (sans doute apocryphe, mais largement répandue).
Vraie ou romancée, l'attribution traduit une réalité : la croissance exponentielle des intérêts composés est l'un des phénomènes les plus contre-intuitifs des maths appliquées.
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Place une somme, choisis un taux et une durée. Compare intérêts simples vs composés.
Intérêts simples
20 000 €
Intérêts composés
26 533 €
📐 Les deux formules
Intérêts simples :
Intérêts composés :
La différence : dans les intérêts simples, l'intérêt est calculé chaque année sur le capital initial seulement. Dans les intérêts composés, l'intérêt est calculé sur le capital + les intérêts déjà accumulés. C'est la croissance qui s'auto-alimente.
🚀 Pourquoi les intérêts composés explosent
Exemple frappant. Tu places 100 € à 5% pendant 100 ans :
- Intérêts simples : 100 × (1 + 100 × 0,05) = 600 €
- Intérêts composés : 100 × 1, ≈ 13 150 €
22× plus avec les intérêts composés. Et plus la durée est longue, plus l'écart se creuse — exponentiellement.
🎯 La règle des 72
Règle pratique : pour estimer en combien d'années un capital double à un taux r%, divise 72 par r.
- À 2% : capital double en ≈ 36 ans
- À 5% : capital double en ≈ 14 ans
- À 8% : capital double en ≈ 9 ans
- À 12% : capital double en ≈ 6 ans
Approximation issue de ln(2)/ln(1+r) ≈ 0,72/r pour les petits r.
💸 Le côté sombre : les crédits à la consommation
La même formule fonctionne en sens inverse : si tu empruntes à un taux annuel, ta dette croît exponentiellement aussi.
🏦 Capitalisation continue (et le retour de e)
Si on calcule les intérêts non plus annuellement, mais mensuellement, hebdomadairement, quotidiennement… on tend vers une capitalisation continue :
Oui : la même fonction e que dans le concept « Le nombre e ». C'est Jacob Bernoulli qui a découvert e en 1683 précisément en étudiant les intérêts composés continus.
🎓 Lien avec le programme
- Suites géométriques : C(n) = × avec q = 1 + r
- Limite : lim = quand n → ∞
- Logarithmes : pour résoudre × = K, on passe au ln
- Exponentielle : modèle de croissance continue
🌍 Applications économiques
- Inflation : les prix grimpent en intérêts composés (2% par an = ×7 en 100 ans)
- Croissance économique : PIB d'un pays, modélisé en exponentielle
- Population mondiale : croissance exponentielle (avec saturation)
- Marchés boursiers : les indices à long terme suivent une exponentielle
- Valeur actualisée : combien vaut aujourd'hui une somme à recevoir dans 10 ans ? Décote au taux r : K/
🧠 Réflexion finale
Les mathématiques financières sont peut-être l'application des maths qui te servira le plus dans la vie. Comprendre les intérêts composés t'aide à :
- Comparer des offres d'épargne et de crédit
- Évaluer la rentabilité à long terme d'un investissement
- Détecter les arnaques (« 5% par mois sans risque » = mensonge)
- Planifier ta retraite, l'achat d'un logement, l'éducation de tes enfants
Ce sont des compétences que très peu de jeunes maîtrisent. Maîtrise-les avant 20 ans, et tu auras un avantage énorme dans la vie sur ceux qui les ignorent.