Les lois à densité

🎛️ Manipule : la probabilité est une aire

Choisis la loi, déplace les bornes a et b, et regarde l'aire sous la courbe — donc P(a ≤ X ≤ b) — changer.

Paramètre c : 5.0

Borne a : 1.0

Borne b : 3.0

Densité f

$f (x) = \frac{1}{5}$

P(a ≤ X ≤ b) = aire

0.400

Loi uniforme sur [0 ; 5] : la densité est constante (1/5). L'aire du rectangle violet vaut (b − a)/c = 0.4.

🎲 Du hasard qui « tombe juste » au hasard continu

Au collège et en Première, le hasard était discret : un dé donne 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. On comptait les cas favorables, on divisait par le nombre total. Chaque valeur avait sa probabilité.

Mais que se passe-t-il quand on demande : « Quel est le temps d'attente exact du prochain bus ? » La réponse peut être $3, 7$ minutes, $3, 71$ minutes, $3, 714159$ minutes… Il y a une infinité de valeurs possibles dans un intervalle. On entre dans le monde des variables aléatoires continues.

Le grand renversement : pour une variable continue $X$ , la probabilité d'obtenir une valeur précise est nulle : $P (X = a) = 0$ . Ce qui a un sens, c'est la probabilité de tomber dans un intervalle : $P (a \leq X \leq b)$ .

📐 La fonction de densité : une probabilité devient une aire

Pour décrire une variable continue $X$ , on utilise une fonction de densité $f$ . C'est une fonction définie sur un intervalle $I$ qui vérifie deux conditions essentielles :

Elle est positive : $f (x) \geq 0$ pour tout $x$ (une densité ne descend jamais sous l'axe).
L'aire totale sous la courbe vaut 1 : $I \int f (t) d t = 1$ (toute la probabilité est répartie sous la courbe).

La probabilité que $X$ tombe entre $a$ et $b$ est alors l'aire sous la courbe de $f$ entre ces deux bornes :

$P (a \leq X \leq b) = a \int b f (t) d t$

C'est exactement ce que montre la visualisation ci-dessus : déplace $a$ et $b$ , et l'aire violette change. Cette aire est la probabilité. Comme un point n'a pas d'aire, on retrouve $P (X = a) = 0$ , et donc : $P (a \leq X \leq b) = P (a < X < b)$ — les bornes ouvertes ou fermées ne changent rien !

📏 La loi uniforme sur $[a; b]$

C'est la loi du hasard « parfaitement équitable » sur un intervalle : toutes les zones de même longueur ont la même probabilité. La densité est constante. Sur $[a; b]$ , pour que l'aire totale vaille 1, on doit avoir :

$f (x) = \frac{1}{b - a}$ pour $x \in [a; b]$ , et $f (x) = 0$ ailleurs.

La courbe est un simple rectangle. La probabilité d'un sous-intervalle se lit comme une proportion de longueur : pour la loi uniforme sur $[0; c]$ , $P (a \leq X \leq b) = \frac{b - a}{c}$ .

Son espérance (la « valeur moyenne ») est le milieu de l'intervalle :

$E (X) = \frac{a + b}{2}$

Exemple : si le prochain bus passe « au hasard » dans les $10$ prochaines minutes, le temps d'attente $X$ suit une loi uniforme sur $[0; 10]$ . La probabilité d'attendre entre $2$ et $5$ minutes vaut $\frac{5 - 2}{10} = 0, 3$ , et en moyenne on attend $5$ minutes.

⏳ La loi exponentielle de paramètre $λ$

C'est la loi des durées de vie et des temps d'attente : durée de fonctionnement d'un composant électronique, temps avant la prochaine désintégration d'un atome radioactif, temps entre deux appels à un standard. Son paramètre $λ > 0$ règle la « rapidité ». Sa densité est :

$f (x) = λ e^{- λ x}$ pour $x \geq 0$ , et $f (x) = 0$ pour $x < 0$ .

La courbe part haut en $0$ (valeur $λ$ ) puis décroît de plus en plus doucement vers l'axe. En calculant l'aire, on obtient deux formules clés que tu utiliseras tout le temps :

$P (a \leq X \leq b) = e^{- λa} - e^{- λb}$ (l'aire entre $a$ et $b$ ).
$P (X \leq t) = 1 - e^{- λ t}$ et donc $P (X > t) = e^{- λ t}$ .

Son espérance est l'inverse du paramètre :

$E (X) = \frac{1}{λ}$

Exemple : une ampoule a une durée de vie $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $λ = 0, 001$ (en heures). Sa durée de vie moyenne est $\frac{1}{λ} = 1000$ heures, et la probabilité qu'elle dépasse $1000$ heures vaut $P (X > 1000) = e^{- 0, 001 \times 1000} = e^{- 1} \approx 0, 37$ .

🧠 La propriété magique : l'absence de mémoire

La loi exponentielle possède une propriété étonnante. Si un composant a déjà fonctionné $s$ heures, la probabilité qu'il tienne $t$ heures de plus est la même que celle d'un composant neuf de tenir $t$ heures :

$P_{X > s} (X > s + t) = P (X > t)$

Autrement dit, le composant « ne vieillit pas » : il ne se souvient pas du temps déjà écoulé. C'est pour ça qu'on parle de loi sans mémoire. C'est la seule loi continue à avoir cette propriété, ce qui en fait l'outil idéal pour modéliser des pannes « purement accidentelles ».

🎓 Le lien avec ton programme bac

Les lois à densité sont un chapitre central de Terminale, à la frontière entre l'analyse (intégrales) et les probabilités. Au bac, on te demande typiquement de :

Vérifier qu'une fonction est une densité : montrer $f \geq 0$ et $I \int f (t) d t = 1$ .
Calculer une probabilité par une intégrale : $P (a \leq X \leq b) = a \int b f (t) d t$ .
Reconnaître une loi uniforme ou exponentielle et appliquer les formules d'espérance.
Utiliser l'absence de mémoire et les probabilités conditionnelles avec l'exponentielle.
Préparer la loi normale (la fameuse « courbe en cloche »), qui est aussi une loi à densité.

Une fois que tu as compris que probabilité = aire = intégrale, toutes ces lois deviennent des variations d'une seule et même idée. C'est l'un des plus beaux ponts entre deux chapitres du programme.

← L'Concepts en mouvement La collection s'enrichit chaque semaine

Les lois à densité

Disponible dans 0 jour

Les lois à densité

🎛️ Manipule : la probabilité est une aire

🎲 Du hasard qui « tombe juste » au hasard continu

📐 La fonction de densité : une probabilité devient une aire

📏 La loi uniforme sur [a;b]

⏳ La loi exponentielle de paramètre λ

🧠 La propriété magique : l'absence de mémoire

🎓 Le lien avec ton programme bac

📏 La loi uniforme sur $[a; b]$

⏳ La loi exponentielle de paramètre $λ$