Limites & asymptotes

🎛️ Manipule : vois les asymptotes apparaître

Dézoome pour voir le comportement à l'infini, zoome près de x = 1 pour voir la courbe exploser le long de l'asymptote verticale.

Niveau de zoom : ×1.0

← Gauche : vue large (x → ±∞, asymptote y=2) · Droite : zoom près de x=1 (asymptote verticale)

Fonction

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

Asymptote horiz.

$y = 2$

Asymptote vert.

$x = 1$

Vue large : quand x → +∞ et x → −∞, la courbe se colle à la droite y = 2. C'est l'asymptote horizontale.

🛤️ Une fonction a des « frontières »

Une fonction ne fait pas n'importe quoi quand on s'éloigne très loin, ou quand on s'approche d'une valeur interdite. Souvent, sa courbe se met à longer une droite invisible : c'est une asymptote. La notion de limite est l'outil qui décrit précisément ce comportement aux frontières.

Prends $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ . Cette fraction n'existe pas en $x = 1$ (division par zéro) et on aimerait savoir ce qu'elle devient quand $x$ part vers $+ \infty$ . La courbe répond : elle se colle à $y = 2$ à l'horizon et explose au voisinage de $x = 1$ .

L'idée de limite : on ne calcule pas la valeur en un point problématique, on observe vers quoi $f (x)$ tend quand $x$ s'en approche d'aussi près qu'on veut.

♾️ La limite en $+ \infty$ et en $- \infty$

Dire que $x \to + \infty lim f (x) = L$ signifie que $f (x)$ devient aussi proche qu'on veut du nombre $L$ dès que $x$ est assez grand. Trois scénarios sont possibles à l'infini :

la fonction tend vers un nombre fini $L$ (ex. $x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ ) ;
la fonction part vers $+ \infty$ ou $- \infty$ (ex. $x \to + \infty lim x^{2} = + \infty$ ) ;
la fonction n'a pas de limite (ex. $cos x$ oscille sans se stabiliser).

➖ L'asymptote horizontale : $lim = L$

Quand $x \to + \infty lim f (x) = L$ (avec $L$ fini), la droite horizontale d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe. Géométriquement, la courbe se rapproche de cette droite sans jamais (en général) la rejoindre.

$x \to + \infty lim \frac{2 x + 1}{x - 1} = 2 ⟹ y = 2 est asymptote horizontale$

Pour le vérifier, on met en facteur le terme dominant : $\frac{2 x + 1}{x - 1} = \frac{x ( 2 + \frac{1}{x} )}{x ( 1 - \frac{1}{x} )} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ . Comme $\frac{1}{x} \to 0$ , le quotient tend vers $\frac{2}{1} = 2$ .

⬆️ L'asymptote verticale : $∣ f ∣ \to \infty$

Près d'une valeur interdite $a$ , le dénominateur s'annule et $f (x)$ peut partir vers $+ \infty$ ou $- \infty$ . Si $x \to a lim ∣ f (x) ∣ = + \infty$ , la droite verticale $x = a$ est une asymptote verticale.

Ici en $x = 1$ , le numérateur vaut $2 (1) + 1 = 3 \neq = 0$ et le dénominateur tend vers $0$ . Il faut distinguer les deux côtés :

à droite ( $x \to 1^{+}$ ), $x - 1$ est un petit nombre positif, donc $x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty$ ;
à gauche ( $x \to 1^{-}$ ), $x - 1$ est un petit nombre négatif, donc $x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty$ .

↗️ Et l'asymptote oblique ? (bonus)

Si $f (x)$ ne tend pas vers un nombre fini à l'infini mais que $f (x) - (a x + b) \to 0$ , alors la droite $y = a x + b$ est une asymptote oblique. C'est le cas de $g (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ : comme $\frac{1}{x} \to 0$ , la courbe longe la droite $y = x$ à l'infini.

📚 Les limites des fonctions de référence

Quelques limites à connaître par cœur pour le bac :

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$ (pour $n \geq 1$ ) ;
$x \to + \infty lim x = + \infty$ et $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ ;
$x \to - \infty lim e^{x} = 0$ et $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ ;
$x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ et $x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ .

⚠️ Opérations et formes indéterminées

On peut additionner, multiplier, diviser des limites… sauf dans quatre cas piégeux où le résultat n'est pas déterminé par la simple lecture. On parle de formes indéterminées :

$\infty - \infty, \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, \frac{0}{0}$

Face à une forme indéterminée, on transforme l'expression : factoriser par le terme dominant, simplifier, multiplier par la quantité conjuguée, ou utiliser les croissances comparées. Notre fonction $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ donne justement la forme $\frac{\infty}{\infty}$ à l'infini, levée en factorisant par $x$ .

🚀 Les croissances comparées

À l'infini, toutes les fonctions ne grandissent pas à la même vitesse. L'exponentielle écrase les puissances, qui écrasent le logarithme :

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty et x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$

Ces résultats lèvent énormément de formes indéterminées du type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ dès qu'une exponentielle ou un logarithme apparaît.

🎓 Le lien avec ton programme bac

Les limites sont le point de départ de toute l'analyse de Terminale :

Étude de fonctions : déterminer les asymptotes complète le tableau de variations ;
Continuité & TVI : les limites encadrent le comportement aux bornes du domaine ;
Suites : $n \to + \infty lim u_{n}$ utilise les mêmes règles d'opérations ;
Exponentielle & logarithme : leurs limites et croissances comparées sont au cœur du programme ;
Intégrales impropres (post-bac) : reposent entièrement sur les limites à l'infini.

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♾️ La limite en +∞ et en −∞

➖ L'asymptote horizontale : lim=L

⬆️ L'asymptote verticale : ∣f∣→∞

↗️ Et l'asymptote oblique ? (bonus)

📚 Les limites des fonctions de référence

⚠️ Opérations et formes indéterminées

🚀 Les croissances comparées

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♾️ La limite en $+ \infty$ et en $- \infty$

➖ L'asymptote horizontale : $lim = L$

⬆️ L'asymptote verticale : $∣ f ∣ \to \infty$