🎛️ Fais tourner la scène 3D : droite ∩ plan
Oriente la vue et change la direction de la droite pour passer de « sécante » à « parallèle » puis « incluse ».
Plan (P)
z = 0 (normal n⃗ = (0,0,1))
Vecteur directeur u⃗ de (D)
u⃗ = (1, 0.5, 1)
Position relative
SÉCANTS
La droite perce le plan en un point unique I : ici n⃗·u⃗ ≠ 0, donc (D) et (P) sont sécants.
🧭 Se repérer dans l'espace
En seconde et première, tu travaillais dans le plan : deux coordonnées suffisaient. En Terminale, on ajoute une troisième dimension. On se munit d'un repère de l'espace formé d'une origine et de trois vecteurs non coplanaires.
Tout point de l'espace est alors repéré par un unique triplet de coordonnées :
Le repère est dit orthonormé lorsque , , sont deux à deux orthogonaux et de norme 1. C'est dans ce cadre que les distances et le produit scalaire deviennent simples.
➡️ Les vecteurs de l'espace
Un vecteur de l'espace a trois coordonnées : . Les règles sont les mêmes que dans le plan, on ajoute juste une composante. Pour et :
- Somme :
- Produit par un réel :
- Colinéarité : et sont colinéaires s'il existe tel que
- Norme (repère orthonormé) :
Trois vecteurs sont coplanaires si l'un s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres : . Sinon ils forment une base de l'espace.
📏 La représentation paramétrique d'une droite
Une droite de l'espace est définie par un point et un vecteur directeur . Un point appartient à si et seulement si est colinéaire à , c'est-à-dire pour un réel . On obtient :
Le réel s'appelle le paramètre. Chaque valeur de donne un point de la droite ; quand parcourt , décrit toute la droite. Contrairement au plan, une seule équation ne suffit pas pour décrire une droite de l'espace : il faut un système paramétrique.
🟦 L'équation cartésienne d'un plan
Un plan est entièrement caractérisé par un point qui lui appartient et un vecteur normal , c'est-à-dire un vecteur orthogonal au plan. Un point appartient à si et seulement si . En développant, on obtient l'équation cartésienne :
Exemple : le plan d'équation admet pour vecteur normal . Le plan de la scène ci-dessus a pour équation , donc .
🔀 Positions relatives d'une droite et d'un plan
C'est le cœur du chapitre. Pour une droite de vecteur directeur et un plan de vecteur normal , tout se joue sur le produit scalaire :
- et sécants (un seul point) : lorsque . La droite « perce » le plan. On trouve le point d'intersection en injectant la représentation paramétrique de dans l'équation de et en résolvant en .
- parallèle à , non incluse : lorsque et un point de n'appartient pas à . Aucune intersection : .
- incluse dans : lorsque et un point de appartient à . Alors toute la droite est dans le plan : .
Méthode bac : calcule d'abord . S'il est non nul → sécants, tu cherches . S'il est nul → parallèle ; il reste à tester un seul point de la droite dans l'équation du plan pour départager « incluse » et « strictement parallèle ».
🟦🟦 Positions relatives de deux plans
Pour deux plans et de vecteurs normaux et :
- Parallèles (confondus ou strictement) : si et sont colinéaires.
- Sécants : si et ne sont pas colinéaires. Leur intersection est alors une droite.
Pour obtenir cette droite d'intersection, on résout le système formé par les deux équations cartésiennes : on exprime deux coordonnées en fonction d'un paramètre, ce qui redonne une représentation paramétrique de droite.
📐 Le produit scalaire dans l'espace
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de et se calcule comme dans le plan, avec un terme de plus :
C'est l'outil qui pilote toute la géométrie de l'espace :
- Orthogonalité : . C'est ce qui définit le vecteur normal.
- Angle : .
- Droite ⊥ plan : une droite est orthogonale à un plan quand son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan.
- Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal… tout repose sur .
Tu vois le lien ? Le test « sécants / parallèles » de la viz est exactement un calcul de produit scalaire . Quand il vaut , la droite est orthogonale à la normale, donc parallèle au plan.
🎓 Le lien avec ton programme bac
La géométrie dans l'espace est un chapitre incontournable de Terminale et un grand classique de l'épreuve. Les exercices types qui tombent au bac :
- Déterminer une représentation paramétrique d'une droite à partir de deux points.
- Trouver une équation cartésienne de plan à partir de trois points (ou d'un point et d'un vecteur normal).
- Étudier la position relative d'une droite et d'un plan, puis calculer leur intersection.
- Montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, calculer une distance ou un projeté orthogonal.
- Déterminer l'intersection de deux plans (une droite) en résolvant un système.