🪜 Manipule : regarde les convergents p/q encercler la vraie valeur
Choisis un nombre, fais varier la profondeur, et vois les fractions s'en approcher en zigzag.
Développement en fraction continue
[1; 1, 1]
Convergent p/q
3 / 2
Valeur décimale
1.500000
Erreur |x − p/q|
1.2e-1
φ = [1; 1, 1, …] : le développement le plus simple qui soit, et pourtant le plus lent à converger.
🪜 Une cascade de fractions emboîtées
Prends un nombre comme 1,6180… (le nombre d'or φ). On peut l'écrire d'une façon très inhabituelle : une fraction dont le dénominateur contient lui-même une fraction, dont le dénominateur contient une fraction… à l'infini.
φ = 1 + 11 + 11 + 11 + …
Pour éviter cet empilement vertigineux, on note simplement la liste des entiers qui apparaissent à chaque étage, séparés par des virgules (et un point-virgule après le premier) :
x = [a0; a1, a2, a3, …]
Ainsi φ = [1; 1, 1, 1, …] et √2 = [1; 2, 2, 2, …].
Le premier nombre a0 est la partie entière de x. Tous les suivants (a1, a2, …) sont des entiers strictement positifs appelés les quotients partiels.
⚙️ L'algorithme : partie entière, puis inverse du reste
Comment trouve-t-on ces quotients ? Le procédé est d'une simplicité désarmante et se répète à l'identique :
- On prend la partie entière du nombre : c'est le quotient ak = ⌊x⌋.
- On regarde ce qu'il reste : r = x − ak, un nombre entre 0 et 1.
- Si le reste est nul, on s'arrête. Sinon on prend son inverse 1/r (qui est > 1)…
- … et on recommence à l'étape 1 avec ce nouveau nombre.
Exemple avec √2 ≈ 1,41421… : la partie entière est 1, le reste 0,41421…, son inverse vaut 2,41421… dont la partie entière est 2, le reste 0,41421… (le même !), inverse 2,41421… : on retombe sur 2, et ainsi de suite indéfiniment. D'où √2 = [1; 2, 2, 2, …].
Le lien avec Euclide : cet algorithme est exactement l'algorithme d'Euclide (celui du PGCD) appliqué non plus à deux entiers, mais à un nombre réel. Les quotients partiels ak sont les quotients successifs des divisions euclidiennes. Pour un rationnel p/q, le procédé s'arrête : le développement est fini.
📐 Les convergents : les meilleures fractions du monde
Si on s'arrête après n étages, on obtient une vraie fraction pn/qn appelée un convergent. On les calcule sans reconstruire la fraction étage par étage, grâce à une récurrence très efficace :
pn = an · pn−1 + pn−2
qn = an · qn−1 + qn−2
avec p−1 = 1, p−2 = 0, q−1 = 0, q−2 = 1.
Ces convergents ont une propriété extraordinaire, qui est tout l'intérêt de la théorie :
🥧 π, √2, e : la galerie des développements
Chaque nombre célèbre a sa signature en fraction continue, et c'est là que se révèle leur personnalité arithmétique.
- π = [3; 7, 15, 1, 292, …]. Le premier convergent est 227 ≈ 3,1428 (l'approximation d'Archimède !). Le grand quotient 292 qui surgit ensuite explique pourquoi 355113 est si précis : il colle à π à 3·10−7 près.
- √2 = [1; 2, 2, 2, …] : purement périodique. Tout irrationnel quadratique (racine d'une équation du second degré à coefficients entiers) a un développement périodique — c'est le théorème de Lagrange.
- e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, …] : un motif régulier (2, 4, 6, 8…) mais non périodique, signature d'un nombre transcendant.
🌻 φ, le nombre « le plus irrationnel »
Le nombre d'or φ = [1; 1, 1, 1, …] est fait uniquement de 1 — les plus petits quotients possibles. Or plus les quotients sont petits, plus la convergence est lente : les fractions s'approchent de φ moins vite que pour n'importe quel autre nombre.
C'est précisément pour cela qu'on dit que φ est « le plus irrationnel des nombres » : il est le plus difficile à bien approcher par une fraction. La nature exploite cette propriété : en disposant les graines d'un tournesol à un angle proportionnel à φ (l'angle d'or, ≈ 137,5°), la plante garantit qu'aucune graine ne se superpose à une autre — un remplissage optimal. C'est la phyllotaxie.
🎓 Le lien avec ton programme 2BAC SM
Les fractions continues sont un magnifique carrefour entre l'arithmétique et l'analyse du programme :
- Algorithme d'Euclide & PGCD : les quotients partiels ne sont rien d'autre que les quotients des divisions euclidiennes successives.
- Suites récurrentes : les numérateurs pn et dénominateurs qn obéissent à une récurrence linéaire d'ordre 2, comme Fibonacci (pour φ, on retrouve exactement les Fibonacci !).
- Convergence & limites : démontrer que pn/qn → x est un superbe exercice d'encadrement et de suites adjacentes.
- Équations diophantiennes & équations de Pell : les convergents de √D fournissent les solutions entières de x² − D·y² = 1 — un classique de l'arithmétique.
- Identité de Bézout : l'avant-dernier convergent d'un rationnel p/q donne directement les coefficients de Bézout.
🤯 La fraction la plus belle qui soit
1 + 11 + 11 + … = φ
Toute la structure est faite du chiffre 1, répété à l'infini, et pourtant elle code le nombre d'or. Voilà l'esprit des fractions continues : derrière l'écriture décimale anarchique d'un nombre se cache souvent un motif arithmétique d'une pureté absolue — et avec lui, ses meilleures approximations rationnelles.