🎛️ Fabrique le monstre, terme par terme
W(x) = Σ aⁿ·cos(bⁿ·π·x) avec a = 0,5 et b = 7. Ajoute des termes : la courbe passe d'un cosinus lisse à une dentelle infinie. Zoome : elle reste tout aussi rugueuse.
N = 0 → un simple cosinus lisse. Plus N grandit, plus la courbe est dentelée.
En zoomant, la rugosité PERSISTE : c'est l'auto-similarité fractale.
Continuité
PARTOUT ✓
Dérivabilité
NULLE PART ✗
Dim fractale
≈ 1,86
5 termes : déjà visiblement dentelée. À l'infini, plus aucune tangente nulle part.
📐 Avant 1872 : « continue, donc dérivable presque partout »
Pendant tout le début du XIXᵉ siècle, les mathématiciens en étaient persuadés : une fonction continue — dont la courbe se trace « sans lever le crayon », sans saut ni trou — devait forcément être dérivable partout, sauf peut-être en quelques points isolés (les « coins » comme celui de la valeur absolue en 0). L'intuition était limpide : une courbe lisse a une tangente presque partout. Des géants comme Ampère avaient même cru le démontrer.
Continuité et dérivabilité semblaient deux notions presque interchangeables. Tracer une courbe continue, c'était dessiner quelque chose de « doux », auquel on pouvait coller une tangente à chaque pas. Ce dogme était au cœur de l'analyse de l'époque.
💥 1872 : Weierstrass lâche son monstre
Le 18 juillet 1872, Karl Weierstrass présente à l'Académie des sciences de Berlin une fonction qui pulvérise ce dogme. Elle est continue en tout point de ℝ, et pourtant elle n'admet de tangente en AUCUN point. Impossible de poser un crayon dessus pour dessiner une droite tangente, où que l'on soit. La courbe est infiniment cassée, dentelée à toutes les échelles.
Sa construction tient en une seule ligne, une série de cosinus :
La fonction de Weierstrass
W(x) = Σn=0+∞ an cos(bn π x)
- a ∈ ]0 ; 1[ : les amplitudes aⁿ décroissent (vers 0).
- b entier impair : les fréquences bⁿ explosent (vers +∞).
- Condition de Weierstrass : a·b > 1 + 3π/2 garantit la non-dérivabilité.
Dans la simulation : a = 0,5 et b = 7, donc a·b = 3,5 > 1 — déjà largement « monstrueux » visuellement.
🧩 Pourquoi c'est continue : la convergence normale
Chaque terme aⁿcos(bⁿπx) est une fonction continue, et son amplitude est majorée par aⁿ. Or la série géométrique Σ aⁿ converge (car 0 < a < 1). On a donc convergence normale de la série de fonctions : elle converge uniformément.
Et un théorème central de l'analyse dit que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. La somme W est donc continue partout. Les amplitudes décroissantes « tiennent » la courbe ensemble, sans aucun saut.
🌀 Pourquoi c'est non dérivable : les pentes s'affolent
Pour la dérivée, on dériverait formellement terme à terme : chaque cosinus donne −aⁿbⁿ·sin(bⁿπx)·π. Les pentes sont alors multipliées par (a·b)ⁿ. Comme on a choisi a·b > 1, ce facteur explose au lieu de tendre vers 0.
Concrètement, quand on essaie de calculer le taux d'accroissement [W(x+h) − W(x)] / h en faisant tendre h vers 0, les termes de hautes fréquences imposent des oscillations de pente de plus en plus violentes : la pente n'a aucune limite, elle oscille indéfiniment entre +∞ et −∞. Pas de limite ⇒ pas de nombre dérivé ⇒ aucune tangente, et ce en chaque point.
Le tiraillement central
Deux forces opposées agissent sur la même série :
- Amplitudes aⁿ → 0 : assez fort pour rendre la fonction continue.
- Pentes (ab)ⁿ → +∞ : assez fort pour détruire toute dérivabilité.
C'est l'équilibre exact a < 1 mais ab > 1 qui crée le monstre.
❄️ Le lien avec les fractales
Plus d'un siècle avant que Benoît Mandelbrot ne forge le mot « fractale » (1975), Weierstrass avait construit l'une des premières. Quand tu actionnes le slider zoom dans la simulation, tu observes l'auto-similarité : peu importe l'échelle à laquelle tu regardes la courbe, elle reste tout aussi dentelée. Pas de niveau « lisse » caché en zoomant — le détail est infini.
Cette rugosité infinie a une signature numérique : la dimension fractale du graphe de W est strictement comprise entre 1 et 2 (de l'ordre de 1,86 pour nos paramètres). Une simple courbe (dimension topologique 1) est si tourmentée qu'elle commence à « remplir » du plan — sans jamais l'atteindre tout à fait. C'est exactement l'esprit des fractales : une complexité infinie née d'une règle simple.
😱 Le choc pour les mathématiciens de l'époque
Cette fonction a provoqué un véritable séisme. Beaucoup la jugèrent contre-nature, une pathologie sans intérêt. Charles Hermite, dans une lettre de 1893, écrira sa célèbre exaspération : il se détourne « avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n'ont point de dérivée ». Le mot « monstre » colle désormais à la peau de ces objets.
Henri Poincaré parlera de « monstres » et de « galerie de tératologie ». Mais en réalité, ces fonctions allaient devenir la règle plutôt que l'exception : on sait aujourd'hui que « presque toute » fonction continue est non dérivable. Loin d'être une anomalie, le monstre de Weierstrass était le visage normal du continu — c'est notre intuition qui était trop naïve.
🎓 Lien avec le programme : continuité ≠ dérivabilité (2BAC SM)
En 2ᵉ année du Baccalauréat Sciences Maths, tu apprends que dérivable ⟹ continue, mais que la réciproque est fausse. Le contre-exemple classique du cours est la fonction x ↦ |x|, continue en 0 mais non dérivable en 0 (à cause du coin).
La fonction de Weierstrass est ce contre-exemple poussé à l'extrême absolu : non pas un seul point anguleux, mais une infinité de coins partout, en chaque réel. Elle prouve de façon spectaculaire que continuité et dérivabilité sont deux propriétés vraiment distinctes, et que la première n'entraîne en rien la seconde. De quoi ne plus jamais confondre « courbe sans saut » et « courbe lisse ».