Les équations différentielles

🎛️ Manipule : le champ des pentes guide la solution

Chaque petit trait montre la pente imposée par l'équation. La courbe ne fait que suivre ces traits.

Coefficient a : 0.50

Constante b : 0.0

Condition y(0) : 1.0

Équation

y' = 0.5·y

Solution

y = 1·e^(0.5x)

a > 0 : croissance exponentielle. La courbe explose en suivant les pentes du champ.

🧩 Une équation… dont l'inconnue est une fonction

Jusqu'ici, résoudre une équation voulait dire trouver un nombre : dans $2 x + 1 = 7$ , on cherche $x = 3$ . Une équation différentielle change complètement la donne : l'inconnue n'est plus un nombre, c'est une fonction tout entière.

L'équation ne te donne pas la fonction directement. Elle te donne une règle qui relie la fonction $y$ et sa dérivée $y^{'}$ , c'est-à-dire sa vitesse de variation. Résoudre l'équation, c'est retrouver toutes les fonctions qui obéissent à cette règle.

L'idée centrale : au lieu de connaître la fonction, on connaît le lien entre sa valeur et sa pente. C'est exactement ce que décrit la nature : « plus il y a de bactéries, plus vite elles se multiplient », « plus le café est chaud, plus vite il refroidit ».

🌱 Le cas fondamental : $y^{'} = a y$

Commençons par l'équation reine du programme : $y^{'} = a y$ , où $a$ est un nombre fixé. En français : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. Plus $y$ est grand, plus $y$ grandit vite (si $a > 0$ ).

Quelle fonction est proportionnelle à sa propre dérivée ? L'exponentielle ! On sait que la dérivée de $e^{a x}$ est $a e^{a x}$ . Toutes les solutions s'écrivent donc :

$y (x) = C e^{a x}$

Le $C$ est une constante quelconque : il y a une infinité de solutions, une pour chaque valeur de $C$ . Toutes ont la même « forme » exponentielle, elles ne diffèrent que par leur hauteur de départ.

⚖️ Le cas avec second membre : $y^{'} = a y + b$

Ajoutons une constante $b$ . L'équation devient $y^{'} = a y + b$ (avec $a \neq = 0$ ). La méthode du bac se fait en deux temps.

Étape 1 — une solution particulière constante. On cherche une solution qui ne bouge pas : si $y$ est constante, alors $y^{'} = 0$ , donc $0 = a y + b$ , ce qui donne :

$y_{p} = - \frac{b}{a}$

Cette valeur $- \frac{b}{a}$ est l'équilibre : si la fonction l'atteint, elle y reste. Sur la visualisation, c'est la ligne horizontale vers laquelle (ou loin de laquelle) toutes les courbes sont attirées.

Étape 2 — on ajoute la solution générale de $y^{'} = a y$ . La solution complète est la somme :

🎯 La condition initiale fixe $C$

Il reste cette infinité de solutions à cause de $C$ . Pour en choisir une seule, on impose une condition initiale : une valeur de la fonction à un instant donné, par exemple $y (0) = y_{0}$ .

En remplaçant $x = 0$ dans $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , on obtient $y_{0} = C - \frac{b}{a}$ , donc $C = y_{0} + \frac{b}{a}$ . La condition initiale « verrouille » la courbe : il n'en passe qu'une et une seule par le point de départ.

Bouge le curseur $y (0)$ sur la viz : tu sélectionnes le point de départ, et la courbe jaune se faufile entre les petits traits du champ, sans jamais en croiser un de travers. C'est toute l'idée : la solution suit le champ des pentes.

🌍 Des exemples partout dans la nature

Ce modèle $y^{'} = a y + b$ , aussi simple soit-il, décrit une quantité incroyable de phénomènes réels :

Désintégration radioactive : $N^{'} = - λ N$ (avec $a = - λ < 0$ ). Le nombre de noyaux décroît exponentiellement — c'est la base de la datation au carbone 14.
Refroidissement de Newton : $T^{'} = - k (T - T_{amb})$ . La température d'un café tend vers celle de la pièce ; ici l'équilibre $- \frac{b}{a}$ est la température ambiante.
Charge d'un condensateur : en électricité, $u^{'} (t) = \frac{1}{R C} (E - u)$ . La tension monte vers $E$ avec la fameuse constante de temps $τ = R C$ .
Croissance d'une population : $P^{'} = a P$ avec $a > 0$ donne une explosion exponentielle — le modèle de Malthus pour des ressources illimitées.
Chute avec frottements : $v^{'} = g - k v$ . La vitesse tend vers une vitesse limite $g / k$ , l'équilibre du système.

Le signe de $a$ raconte toute l'histoire : si $a > 0$ , le système diverge (explosion) ; si $a < 0$ , il converge vers son équilibre $- \frac{b}{a}$ .

🎓 Le lien avec ton programme bac

Les équations différentielles sont un chapitre clé de Terminale, et un grand classique des sujets de bac. Ce qu'on attend de toi :

Résoudre $y^{'} = a y$ : reconnaître la forme et donner $y = C e^{a x}$ .
Résoudre $y^{'} = a y + b$ : trouver la solution particulière constante $- \frac{b}{a}$ , puis ajouter la solution générale.
Utiliser une condition initiale : déterminer $C$ à partir de $y (0)$ ou d'une autre valeur.
Modéliser un problème concret : traduire un énoncé de physique ou de biologie en équation différentielle, puis l'interpréter.
Lier au reste du cours : la solution fait intervenir l'exponentielle, dont c'est la propriété définissante : $exp^{'} = exp$ .

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Les équations différentielles

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Les équations différentielles

🎛️ Manipule : le champ des pentes guide la solution

🧩 Une équation… dont l'inconnue est une fonction

🌱 Le cas fondamental : y′=ay

⚖️ Le cas avec second membre : y′=ay+b

🎯 La condition initiale fixe C

🌍 Des exemples partout dans la nature

🎓 Le lien avec ton programme bac

🌱 Le cas fondamental : $y^{'} = a y$

⚖️ Le cas avec second membre : $y^{'} = a y + b$

🎯 La condition initiale fixe $C$