Échantillonnage & intervalle de fluctuation

🎛️ Manipule : tire des échantillons et regarde-les s'éparpiller

La vraie proportion p est fixée. Chaque échantillon de taille n donne une fréquence f différente. Combien tombent dans l'intervalle ?

Taille de l'échantillon n : 100 Vraie proportion p : 0.50

Largeur de l'intervalle simple : ±1/√n. Plus n est grand, plus les fréquences se resserrent.

Échantillons

Intervalle ±1/√n

[0.40 ; 0.60]

% dans l'intervalle

—

Clique sur « Tirer un échantillon » : chaque échantillon de n personnes donne une fréquence f de « oui ». Regarde-la se placer sur l'axe [0 ; 1].

📊 Un sondage qui change à chaque fois

Une élection approche. Le candidat A est vraiment soutenu par p = 50 % de la population — c'est la vraie proportion, fixe, mais que personne ne connaît exactement. Un institut interroge 100 personnes au hasard : il trouve 53 %. Le lendemain, un autre institut interroge 100 autres personnes : il trouve 47 %.

Personne n'a triché. C'est la fluctuation d'échantillonnage : même en interrogeant des gens parfaitement au hasard, la fréquence observée f varie d'un échantillon à l'autre. Le sondage « bouge », et c'est normal.

Distinction cruciale : la proportion $p$ est une caractéristique de toute la population (fixe, inconnue). La fréquence $f$ est ce qu'on mesure sur un échantillon (variable, observée). On utilise $f$ pour estimer $p$ , mais $f \neq = p$ presque toujours.

🎯 L'intervalle de fluctuation (Seconde)

Bonne nouvelle : même si $f$ varie, elle ne part pas n'importe où. Elle reste groupée autour de $p$ . En Seconde, on apprend un intervalle très simple qui contient « presque toujours » la fréquence :

$I = [p - \frac{1}{n}; p + \frac{1}{n}]$

Cet intervalle est centré sur $p$ et a une largeur totale de $\frac{2}{n}$ . Pour $n = 100$ , la demi-largeur vaut $\frac{1}{100} = \frac{1}{10} = 0, 1$ : si $p = 0, 5$ , alors $I = [0, 4; 0, 6]$ . La règle de Seconde dit : pour $n \geq 25$ et $0, 2 \leq p \leq 0, 8$ , environ 95 % des échantillons donnent une fréquence dans cet intervalle.

À tester dans la viz : fixe $p = 0, 5$ et $n = 100$ , puis tire 100 échantillons. Tu devrais voir le compteur « % dans l'intervalle » s'installer autour de 95 %. Augmente $n$ : le nuage de points se resserre autour de $p$ .

🔔 La version 95 % liée à la loi binomiale (Terminale)

En Terminale, on comprend pourquoi ça marche. Le nombre de « oui » dans un échantillon de taille $n$ suit une loi binomiale $X \sim B (n, p)$ : on répète $n$ fois la même expérience indépendante à deux issues (oui/non), chacune de probabilité $p$ . La fréquence observée est $f = \frac{X}{n}$ .

Pour $n$ assez grand, la loi binomiale se rapproche d'une loi normale (théorème central limite). On peut alors construire un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % :

$I_{95} = [p - 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}; p + 1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n}]$

Le $1, 96$ vient de la loi normale : c'est le seuil qui laisse $2, 5%$ de chaque côté, donc $95%$ au centre. Comme $p (1 - p) \leq \frac{1}{2}$ pour tout $p \in [0; 1]$ , on a toujours $1, 96 \frac{p ( 1 - p )}{n} \leq \frac{0 , 98}{n} \leq \frac{1}{n}$ . L'intervalle simple de Seconde est donc une majoration commode de l'intervalle à 95 % : un peu plus large, mais plus facile à retenir.

⚖️ Prendre une décision : rejeter une hypothèse

À quoi sert tout ça ? À tester une affirmation. Un fabricant prétend que sa machine produit $p = 5%$ de pièces défectueuses. Tu prélèves un échantillon de $n = 400$ pièces et tu observes $f = 8%$ de défauts. Est-ce un hasard d'échantillonnage, ou la machine est-elle déréglée ?

On construit l'intervalle de fluctuation sous l'hypothèse $p = 0, 05$ . La règle de décision est simple :

Si la fréquence observée $f$ est dans l'intervalle : l'écart est compatible avec le hasard, on ne rejette pas l'hypothèse.
Si $f$ est hors de l'intervalle : un tel écart serait très improbable si $p = 0, 05$ , donc on rejette l'hypothèse (au risque de 5 %).

📏 Taille d'échantillon et précision

Pourquoi les instituts interrogent-ils $1000$ personnes plutôt que $100$ ? À cause du $n$ au dénominateur. La demi-largeur de l'intervalle est en $\frac{1}{n}$ : pour diviser la marge d'erreur par 2, il faut multiplier $n$ par 4.

$n = 100$ → demi-largeur $\frac{1}{100} = 0, 10$ (marge de $\pm 10$ points)
$n = 400$ → demi-largeur $\frac{1}{400} = 0, 05$ (marge de $\pm 5$ points)
$n = 1000$ → demi-largeur $\frac{1}{1000} \approx 0, 032$ (marge de $\pm 3, 2$ points)
$n = 10000$ → demi-largeur $\frac{1}{10000} = 0, 01$ (marge de $\pm 1$ point)

C'est pour ça qu'un sondage à $\pm 3$ points coûte cher : il faut plus de $1000$ personnes. Et descendre à $\pm 1$ point demanderait $10000$ interviews : la précision se paie au prix fort.

🎓 Le lien avec ton programme bac

Ce concept est un fil rouge des probabilités au lycée, de la Seconde à la Terminale :

Seconde : fluctuation d'échantillonnage, intervalle $[p - \frac{1}{n}; p + \frac{1}{n}]$ simulé.
Première : loi binomiale $B (n, p)$ , espérance $n p$ , écart-type $n p (1 - p)$ .
Terminale : approximation par la loi normale, intervalle de fluctuation à 95 %, intervalle de confiance pour estimer $p$ , prise de décision.
Concentration / loi des grands nombres : $f$ converge vers $p$ quand $n \to + \infty$ — l'inégalité de concentration formalise « le nuage se resserre ».

← L'Concepts en mouvement La collection s'enrichit chaque semaine

Échantillonnage & intervalle de fluctuation

Disponible dans 0 jour

Échantillonnage & intervalle de fluctuation

🎛️ Manipule : tire des échantillons et regarde-les s'éparpiller

📊 Un sondage qui change à chaque fois

🎯 L'intervalle de fluctuation (Seconde)

🔔 La version 95 % liée à la loi binomiale (Terminale)

⚖️ Prendre une décision : rejeter une hypothèse

📏 Taille d'échantillon et précision

🎓 Le lien avec ton programme bac