La continuité d'une fonction

🎛️ Manipule : crée ou referme le saut

Déplace le paramètre s pour décaler le morceau de droite. Quand les deux morceaux se rejoignent, la fonction devient continue.

Décalage s du morceau de droite : +1.000

← Saut négatif · Centre : s = 0 → CONTINUE · Saut positif →

Limite à gauche

1.000

Limite à droite = f(1)

2.000

État en $x_{0}$ = 1

DISCONTINUE ✗

s = +1 : la limite à droite (2) ne vaut pas la limite à gauche (1). Il y a un saut de 1 en $x_{0}$ = 1 → discontinuité.

✏️ L'idée intuitive : tracer sans lever le crayon

Une fonction est continue si tu peux tracer sa courbe sans jamais lever le crayon. Pas de trou, pas de saut, pas de cassure brutale : la courbe est d'un seul tenant.

Au contraire, quand la courbe « saute » d'une valeur à une autre en un point, on dit qu'elle est discontinue en ce point. Le crayon doit décoller du papier : c'est exactement ce que tu vois dans la visualisation ci-dessus quand $s \neq = 0$ .

Exemple du quotidien : la température au cours d'une journée est continue (elle ne « saute » jamais d'un coup de 10°C à 25°C). Mais le prix d'un timbre, qui passe brusquement d'une valeur à une autre, est discontinu : il fait des sauts.

📐 La définition rigoureuse : avec les limites

L'intuition « sans lever le crayon » est jolie, mais les mathématiciens ont besoin d'une définition précise. Elle repose sur la notion de limite. On dit que $f$ est continue en un point $a$ si :

$x \to a lim f (x) = f (a)$

Autrement dit, trois conditions doivent être réunies :

$f (a)$ existe (le point $a$ appartient à l'ensemble de définition) ;
la limite $x \to a lim f (x)$ existe ;
ces deux nombres sont égaux.

Plus finement, on regarde la limite à gauche $x \to a^{-} lim f (x)$ et la limite à droite $x \to a^{+} lim f (x)$ . La fonction est continue en $a$ exactement quand :

$x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = f (a)$

Dans la visualisation, le morceau de gauche est $f (x) = x^{2}$ pour $x < 1$ , et le morceau de droite est $f (x) = x + s$ pour $x \geq 1$ . La limite à gauche en $x_{0} = 1$ vaut toujours $1$ , tandis que la limite à droite — qui est aussi $f (1)$ — vaut $1 + s$ . Les deux coïncident uniquement quand $s = 0$ : c'est le seul cas où la fonction est continue.

📚 Les fonctions continues que tu connais déjà

Bonne nouvelle : presque toutes les fonctions du programme sont continues sur leur ensemble de définition. Tu n'as donc jamais à le vérifier à la main pour :

les fonctions polynômes (comme $x^{2}$ , $x^{3} - 2 x + 1$ ) — continues sur $R$  ;
la fonction exponentielle $exp$ — continue sur $R$  ;
la fonction logarithme $ln$ — continue sur $] 0; + \infty [$  ;
la racine carrée $x$ — continue sur $[0; + \infty [$  ;
les fonctions sinus et cosinus — continues sur $R$ .

De plus, somme, produit, composée de fonctions continues restent continues. Un quotient $\frac{u}{v}$ est continu partout où il est défini, c'est-à-dire là où le dénominateur ne s'annule pas. Par exemple $\frac{1}{x}$ est continue sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 0; + \infty [$ , mais pas en $0$ (où elle n'est même pas définie).

Où trouve-t-on des discontinuités ? Essentiellement dans les fonctions définies par morceaux (comme dans la viz), dans la partie entière $x \mapsto ⌊ x ⌋$ (qui saute à chaque entier), ou aux points où un dénominateur s'annule.

🔗 Continuité et dérivabilité

Il existe un lien fort, mais à sens unique, entre dériver et être continu :

$f$ dérivable en $a$ $\Rightarrow$ $f$ continue en $a$

Si une fonction admet une tangente en un point (donc une dérivée), alors elle est forcément continue en ce point. C'est logique : pour avoir une pente bien définie, la courbe ne peut pas sauter.

Mais la réciproque est fausse ! Une fonction peut être continue sans être dérivable. L'exemple roi est la valeur absolue $x \mapsto ∣ x ∣$ : elle se trace sans lever le crayon (donc continue partout), mais en $0$ elle forme un angle. À gauche la pente vaut $- 1$ , à droite elle vaut $+ 1$ : il n'y a pas de tangente unique, donc pas de dérivée en $0$ .

🎯 Le rôle clé : le théorème des valeurs intermédiaires

Voilà pourquoi la continuité compte vraiment. Elle est l'hypothèse centrale du théorème des valeurs intermédiaires (TVI), l'un des résultats les plus utilisés du programme.

TVI : si $f$ est continue sur $[a; b]$ , alors pour tout nombre $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un $c \in [a; b]$ tel que $f (c) = k$ .

Concrètement : si une fonction continue passe de la valeur $f (a) = - 3$ à $f (b) = 5$ , alors elle a forcément pris la valeur $0$ quelque part entre $a$ et $b$ . C'est la base de la résolution d'équations $f (x) = k$ : on prouve qu'une solution existe, même sans savoir la calculer.

Avec l'hypothèse supplémentaire que $f$ est strictement monotone, le TVI garantit que cette solution est unique (c'est le « corollaire » ou théorème de la bijection). C'est exactement l'outil qu'on utilise pour montrer qu'une équation comme $x^{3} + x - 1 = 0$ admet une solution unique, puis pour l'encadrer par balayage ou dichotomie.

Et sans continuité ? Tout s'effondre. Si la fonction saute (comme dans la viz quand $s \neq = 0$ ), elle peut très bien passer de $- 3$ à $5$ sans jamais valoir $0$ : elle a sauté par-dessus. C'est précisément pour cela que la continuité est indispensable.

🎓 Le lien avec ton programme bac

La continuité est un chapitre charnière de Terminale. Elle relie les limites (vues juste avant) au TVI et au calcul intégral. Tu la retrouveras dans :

Résolution d'équations $f (x) = k$ par le TVI et son corollaire de bijection ;
Encadrement de solutions par balayage / dichotomie (algorithmique) ;
Étude de fonctions définies par morceaux : vérifier le raccord (limites à gauche/droite) ;
Calcul intégral : toute fonction continue sur $[a; b]$ admet des primitives (théorème fondamental) ;
Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : si $f$ est continue et $(u_{n})$ converge vers $L$ , alors $f (L) = L$ .

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La continuité d'une fonction

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