Tous les infinis ne sont pas égaux : Cantor et l'infini

On a tous une intuition de l'infini : c'est « ce qui n'a pas de fin ». Mais à la fin du XIXe siècle, le mathématicien Georg Cantor a démontré quelque chose de profondément contre-intuitif : il existe plusieurs infinis, et certains sont strictement plus grands que d'autres. Comment comparer deux ensembles infinis ? Et comment prouver que l'un déborde l'autre ? Suivez le guide.

Compter sans compter : la bijection

Quand un ensemble est fini, on sait dire s'il a « autant » d'éléments qu'un autre : on les compte. Mais pour des ensembles infinis, on ne peut pas tout compter un par un. Cantor a eu une idée géniale : deux ensembles ont la même taille (le même cardinal) s'il existe une bijection entre eux, c'est-à-dire un appariement parfait où chaque élément du premier correspond à un seul élément du second, et réciproquement.

L'image est simple : dans une salle, sans compter les chaises ni les personnes, si chacun est assis sur exactement une chaise et qu'aucune chaise n'est vide, alors il y a autant de chaises que de personnes. La bijection, c'est le fait d'être « assis ».

L'infini dénombrable : ℕ, ℤ, ℚ ont la même taille

Un ensemble est dit dénombrable s'il peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$. Autrement dit, on peut numéroter ses éléments : un premier, un deuxième, un troisième… sans en oublier aucun.

ℕ et ℤ : autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels

Cela semble absurde : $\mathbb{Z}$ contient les négatifs en plus de tout $\mathbb{N}$, il devrait être « deux fois plus grand » ! Et pourtant, on peut numéroter tous les entiers relatifs sans en sauter un :

• $0\to 0$
• $1\to 1$, puis $-1\to 2$
• $2\to 3$, puis $-2\to 4$, et ainsi de suite…

On alterne positifs et négatifs. Chaque entier relatif reçoit un numéro unique dans $\mathbb{N}$ : c'est une bijection. Donc $\mathbb{Z}$ est dénombrable : il a exactement la même taille que $\mathbb{N}$.

ℚ : même les fractions sont dénombrables

Plus surprenant encore : les nombres rationnels $\mathbb{Q}$ (toutes les fractions) sont aussi dénombrables. Pourtant, entre deux fractions, on peut toujours en glisser une infinité d'autres ! Cantor les a rangées dans un grand tableau : en ligne le numérateur, en colonne le dénominateur. Puis il les parcourt en diagonale, en zigzag, ce qui permet de tous les numéroter (en sautant les doublons comme $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$). Résultat : on peut faire la liste de toutes les fractions. $\mathbb{Q}$ est donc dénombrable lui aussi.

À ce stade, on pourrait croire que tous les infinis se valent. C'est là que Cantor frappe fort.

ℝ est plus grand : l'argument diagonal

Cantor a prouvé que l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ — tous les points d'une droite, avec leurs développements décimaux infinis — ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb{N}$. Il est non dénombrable : strictement plus grand. Voici son raisonnement, par l'absurde.

Supposons qu'on ait réussi à numéroter tous les réels entre $0$ et $1$. On les écrit en liste, chacun avec ses décimales :

• $r_1=0,314159\dots$
• $r_2=0,271828\dots$
• $r_3=0,414213\dots$
• $r_4=0,161803\dots$

Cantor construit alors un nouveau nombre $d$ en suivant la diagonale (en gras) : on prend la 1^re décimale du 1^er nombre, la 2^e du 2^e, la 3^e du 3^e… puis on change chacune de ces décimales (par exemple, on ajoute 1, ou on remplace par 5 si c'était autre chose).

Le nombre $d$ ainsi fabriqué est différent de $r_1$ (leur 1^re décimale diffère), différent de $r_2$ (la 2^e diffère), différent de $r_3$, et ainsi de suite : $d$ diffère de chaque nombre de la liste par au moins une décimale. Donc $d$ n'est dans la liste nulle part — alors qu'on avait supposé y avoir mis tous les réels. Contradiction !

Conclusion : il est impossible de numéroter tous les réels. $\mathbb{R}$ contient « plus » d'éléments que $\mathbb{N}$. Il existe donc bien au moins deux infinis différents. On note ${\aleph }_0$ (lire « aleph-zéro ») la taille du dénombrable, et celle de $\mathbb{R}$ est strictement plus grande.

L'hôtel de Hilbert : l'infini fait de la place

Pour ressentir l'étrangeté de l'infini dénombrable, le mathématicien David Hilbert a imaginé un hôtel paradoxal aux chambres numérotées $1,2,3,\dots$ à l'infini, et… complet.

• Un nouveau client arrive. Pas de problème : on demande à chaque occupant de passer dans la chambre suivante (chambre $n\to$ chambre $n+1$). La chambre $1$ se libère, le nouveau venu s'installe. L'hôtel complet a accueilli un client de plus !
• Un car infini de touristes arrive. On déplace chaque occupant de la chambre $n$ vers la chambre $2n$ : toutes les chambres paires sont occupées, toutes les impaires se libèrent — une infinité de places pour les nouveaux.

Ces tours de passe-passe ne marchent que parce que $\mathbb{N}$ est dénombrable. L'argument diagonal nous dit que si un car « réel » (non dénombrable) arrivait, l'hôtel de Hilbert, lui, ne pourrait jamais loger tout le monde.

Pourquoi c'est important

L'idée de Cantor a révolutionné les mathématiques : elle montre qu'« infini » n'est pas une taille unique, mais toute une hiérarchie. Au-delà de $\mathbb{R}$, il existe d'ailleurs des infinis encore plus grands, sans fin. Cette découverte a fondé la théorie des ensembles, l'un des socles des mathématiques modernes.

La prochaine fois que vous croiserez le symbole $\infty$, souvenez-vous : derrière ce simple signe se cache un univers entier d'infinis, certains plus vertigineux que d'autres.