Raisonnement par l'absurde et contraposée : méthode complète

Deux armes pour les démonstrations difficiles

Quand une démonstration directe semble inaccessible, deux stratégies changent radicalement la donne : le raisonnement par l'absurde et le raisonnement par contraposée. Toutes deux figurent au programme de logique de Seconde, Première et Terminale, et elles tombent régulièrement au bac. Bien maîtrisées, elles transforment des questions réputées dures en démonstrations courtes et élégantes.

Le raisonnement par l'absurde

Principe. Pour prouver une proposition $P$ , on suppose sa négation $\neg P$ , puis on en déduit une contradiction (une affirmation et son contraire, ou un fait manifestement faux). Comme une hypothèse menant à l'absurde ne peut être vraie, on conclut que $P$ est vraie.

Exemple classique : $2$ est irrationnel

Hypothèse absurde. Supposons que $2 \in Q$ . On peut alors écrire $2 = \frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers, $q \neq = 0$ , et la fraction irréductible (donc $pgcd (p, q) = 1$ ).

Élevons au carré : $2 = \frac{p ^{2}}{q ^{2}}$ , soit $p^{2} = 2 q^{2}$ . Donc $p^{2}$ est pair, et puisque le carré d'un impair est impair, $p$ est pair. Écrivons $p = 2 k$ .

Alors $(2 k)^{2} = 2 q^{2}$ , soit $4 k^{2} = 2 q^{2}$ , d'où $q^{2} = 2 k^{2}$ . Donc $q^{2}$ est pair, et $q$ est pair.

Mais alors $p$ et $q$ sont tous deux pairs, donc $2 ∣ pgcd (p, q)$ : contradiction avec « fraction irréductible ».

Conclusion. L'hypothèse est absurde, donc $2 \in / Q$ . $■$

Le raisonnement par contraposée

Principe. Pour prouver l'implication « $P \Rightarrow Q$ », on prouve sa contraposée « $\neg Q \Rightarrow \neg P$ ». Les deux sont logiquement équivalentes : démontrer l'une, c'est démontrer l'autre.

Exemple : si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair

La démonstration directe (partir de « $n^{2}$ pair » pour atteindre « $n$ pair ») est malaisée. Passons à la contraposée : « si $n$ est impair, alors $n^{2}$ est impair ».

Supposons $n$ impair : $n = 2 k + 1$ . Alors :

n^{2} = (2 k + 1)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1,

qui est de la forme $2 m + 1$ , donc impair. La contraposée est démontrée, donc l'implication initiale aussi : si $n^{2}$ est pair, alors $n$ est pair. $■$

Quand choisir l'une ou l'autre ?

Par l'absurde : quand l'énoncé exprime une impossibilité ou une unicité (« il n'existe pas de… », « … est unique », « … est irrationnel »). On suppose le contraire et on cherche la faille.
Par contraposée : quand on doit prouver une implication « $P \Rightarrow Q$ » dont le sens direct est complexe, mais dont la contraposée est calculatoire et simple (typiquement avec parité, divisibilité, signes).

Exemple d'unicité par l'absurde

Montrons l'unicité de la solution de $f (x) = 0$ pour $f$ strictement croissante. Supposons deux solutions distinctes $α < β$ avec $f (α) = f (β) = 0$ . Comme $f$ est strictement croissante et $α < β$ , on aurait $f (α) < f (β)$ , donc $0 < 0$ : absurde. Il y a donc au plus une solution. $■$

Bien manier les négations

Ces deux méthodes reposent sur une négation correcte des propositions. À connaître par cœur :

$\neg (\forall x, P (x)) \equiv \exists x, \neg P (x)$
$\neg (\exists x, P (x)) \equiv \forall x, \neg P (x)$
$\neg (P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$
$\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$ et $\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$ (lois de De Morgan)

Les pièges à éviter

Mal nier la propriété : la négation de « $\forall x, P (x)$ » est « $\exists x, \neg P (x)$ », surtout pas « $\forall x, \neg P (x)$ ».
Ne pas nommer la contradiction : écrivez explicitement « Contradiction avec… ». Sans cette phrase, le correcteur peut douter que vous ayez vu la faille.
Confondre contraposée et réciproque : la réciproque de « $P \Rightarrow Q$ » est « $Q \Rightarrow P$ », qui n'est pas équivalente. La contraposée, elle, l'est.
Oublier de conclure sur la proposition d'origine : après avoir prouvé la contraposée, rappelez que l'implication initiale est donc vraie.

À retenir. Par l'absurde : on suppose

\neg P

et on vise une contradiction. Par contraposée : pour «

P \Rightarrow Q

», on prouve «

\neg Q \Rightarrow \neg P

». Dans les deux cas, tout repose sur une négation impeccable des quantificateurs et de l'implication.

Un second exemple par contraposée : divisibilité

Énoncé. Montrer que si $n^{2}$ n'est pas divisible par $3$ , alors $n$ n'est pas divisible par $3$ .

La contraposée s'énonce : « si $n$ est divisible par $3$ , alors $n^{2}$ est divisible par $3$ . » Supposons $n = 3 k$ . Alors $n^{2} = 9 k^{2} = 3 (3 k^{2})$ , qui est bien un multiple de $3$ . La contraposée est démontrée, donc l'implication d'origine aussi. $■$ Ce schéma, très courant en arithmétique, montre tout l'intérêt de la contraposée : la condition « divisible » se traduit par une écriture $n = 3 k$ beaucoup plus maniable que sa négation.

Méthode : rédiger une preuve par l'absurde sans se tromper

Annoncer l'hypothèse absurde : « Supposons par l'absurde que… » suivi de la négation exacte de ce qu'on veut prouver.
Dérouler les conséquences logiques sans rien forcer.
Identifier la contradiction et la nommer : « ce qui contredit… ».
Conclure : « L'hypothèse est donc fausse, ce qui prouve $P$ . »

Pour vous entraîner, voyez aussi la méthode de la récurrence.