Pourquoi 0,999… = 1 (ce n'est pas une approximation)

Demande autour de toi : « Est-ce que $0,999\dots$ est égal à 1 ? » La plupart des gens répondront que non, que c'est juste un peu en dessous, une sorte d'approximation infiniment proche. C'est une intuition très répandue... et pourtant complètement fausse. Le nombre $0,999\dots$ (avec une infinité de 9) n'est pas presque égal à 1 : il est 1. Exactement. Voyons pourquoi, avec deux preuves accessibles.

La preuve en trois lignes

C'est la démonstration la plus connue, et elle ne demande qu'un peu d'algèbre de lycée. Posons :

• $x=0,999\dots$

Multiplions les deux côtés par 10. Décaler la virgule d'un cran revient à multiplier par 10, et comme il y a une infinité de 9, le motif après la virgule reste identique :

• $10x=9,999\dots$

Maintenant, soustrayons la première ligne à la seconde. À gauche : $10x-x=9x$. À droite, les parties décimales $0,999\dots$ et $9,999\dots$ ont exactement les mêmes 9 après la virgule, donc elles s'annulent et il ne reste que le 9 entier :

• $10x-x=9,999\dots -0,999\dots$
• $9x=9$

Il ne reste plus qu'à diviser par 9 :

• $x=\frac{9}{9}=1$

Or on avait posé $x=0,999\dots$ au départ. Donc $0,999\dots =1$. Pas d'arrondi, pas de triche : juste une équation que tout élève sait résoudre.

La preuve par les séries géométriques

Si la première preuve te laisse un doute, en voici une plus solide. L'écriture $0,999\dots$ est en réalité un raccourci pour une somme infinie :

$0,999\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$

C'est une série géométrique : chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $\frac{1}{10}$. Pour une telle somme infinie de premier terme $a$ et de raison $q$ (avec $|q|<1$), il existe une formule exacte :

$a+aq+a{q}^2+\dots =\frac{a}{1-q}$

Ici, le premier terme est $a=\frac{9}{10}$ et la raison est $q=\frac{1}{10}$. On remplace :

$0,999\dots =\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$

Encore une fois, le résultat tombe sur 1 exactement. Et cette fois, ce n'est pas un tour de passe-passe : c'est la définition rigoureuse de ce que veut dire « un nombre avec une infinité de décimales ».

Pourquoi ça heurte autant l'intuition

Si la preuve est si simple, pourquoi tant de gens refusent-ils d'y croire ? Le problème vient de notre image mentale. On imagine $0,999\dots$ comme un nombre qu'on construit 9 après 9 : $0,9$, puis $0,99$, puis $0,999$... et on a l'impression qu'on « court après » 1 sans jamais l'atteindre, qu'il manque toujours un petit quelque chose.

Mais c'est là le piège : $0,999\dots$ n'est pas ce processus en train de se dérouler. C'est le résultat du processus une fois les 9 tous écrits, jusqu'à l'infini. Le « petit quelque chose qui manque » devrait être un nombre plus grand que 0 mais plus petit que toute fraction $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}\dots$ Or un tel nombre n'existe pas chez les réels : le seul nombre plus petit que tous ceux-là, c'est 0. L'écart entre $0,999\dots$ et 1 est donc nul.

Autre façon de le voir : si deux nombres sont différents, on peut toujours en glisser un troisième entre eux. Quel nombre pourrais-tu écrire entre $0,999\dots$ et 1 ? Aucun. Et deux nombres qu'on ne peut pas séparer sont, par définition, le même nombre.

Le vrai sujet : les limites

Derrière cette histoire de 9 se cache l'une des idées les plus importantes du programme de Terminale : la limite. La suite $0,9;0,99;0,999;\dots$ ne « devient » pas 1 à une étape précise. Mais sa limite est 1, et l'écriture $0,999\dots$ désigne précisément cette limite.

C'est exactement le même mécanisme que $\frac{1}{3}=0,333\dots$ Personne ne conteste cette égalité ! Or si on multiplie les deux côtés par 3, on obtient $1=0,999\dots$ La cohérence est totale : refuser que $0,999\dots =1$, ce serait aussi refuser que $\frac{1}{3}=0,333\dots$

La leçon est belle : en mathématiques, l'infini ne se manipule pas avec l'intuition du quotidien. Un même nombre peut avoir deux écritures décimales différentes, et apprivoiser cette idée, c'est faire un premier pas vers l'analyse, les limites et le calcul intégral. $0,999\dots =1$ n'est pas un bug des maths : c'est une fenêtre ouverte sur leur vraie profondeur.