Pi : pourquoi ce nombre est partout

Tu connais sûrement $\pi \approx 3,14159$ depuis le collège : c'est ce nombre mystérieux qui sert à calculer le périmètre et l'aire d'un cercle. Mais $\pi$ ne se contente pas des cercles. Il surgit dans des problèmes qui n'ont, à première vue, rien de géométrique : des aiguilles lancées au hasard sur un parquet, des sommes infinies de fractions, ou encore la courbe en cloche des probabilités. Pourquoi ce nombre est-il partout ?

Au départ, une histoire de cercle

La définition de $\pi$ est d'une simplicité désarmante. Prends n'importe quel cercle, mesure son périmètre $P$ (la longueur du tour) et son diamètre $d$ (la largeur). Fais le rapport : tu obtiens toujours le même nombre, quel que soit le cercle.

$$\pi =\frac{P}{d}$$

C'est ce qui rend $\pi$ si fondamental : ce n'est pas une propriété d'un cercle particulier, mais de tous les cercles à la fois. Un petit cercle de pièce de monnaie et l'orbite d'une planète partagent exactement la même constante. De là découlent les formules que tu connais : le périmètre $P=2\pi r$ et l'aire $A=\pi r^2$, où $r$ est le rayon.

Un nombre qui ne s'arrête jamais

Très tôt, les mathématiciens ont remarqué quelque chose d'étrange : impossible d'écrire $\pi$ sous forme d'une fraction simple. On utilise souvent $\frac{22}{7}$ comme approximation, mais ce n'est qu'une approximation : $\frac{22}{7}\approx 3,\mathrm{1428...}$, ce qui dépasse déjà $\pi$ à la troisième décimale.

Pi est irrationnel

En 1761, le mathématicien Johann Lambert démontre que $\pi$ est irrationnel : il ne peut jamais s'écrire comme un quotient de deux entiers $\frac{a}{b}$. Conséquence directe : ses décimales se poursuivent à l'infini, sans jamais se répéter de façon périodique. Il n'y a pas de motif caché qui reviendrait sans cesse, contrairement à un nombre comme $\frac{1}{3}=0,\mathrm{3333...}$

Pi est transcendant

En 1882, Ferdinand von Lindemann va encore plus loin : il prouve que $\pi$ est transcendant. Cela signifie qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers (du type $a{x}^n+...+c=0$). C'est une propriété encore plus forte que l'irrationalité. Par exemple, $\sqrt{2}$ est irrationnel, mais il n'est pas transcendant car il est solution de $x^2-2=0$. Pour $\pi$, aucune équation de ce genre n'existe.

Ce résultat a réglé d'un coup un problème vieux de 2000 ans : la quadrature du cercle. Construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un cercle donné est impossible, précisément parce que $\pi$ est transcendant. Les Grecs avaient cherché en vain pendant des siècles.

La course aux décimales

Puisqu'on ne peut pas écrire $\pi$ exactement, l'humanité a passé des millénaires à en calculer de plus en plus de décimales.

• Archimède (vers 250 av. J.-C.) encadre $\pi$ en coinçant le cercle entre deux polygones, l'un à l'intérieur, l'autre à l'extérieur. Avec des polygones à 96 côtés, il obtient $3,1408<\pi <3,1429$.
• Au fil des siècles, on passe à quelques dizaines de décimales à la main, un travail colossal.
• L'arrivée de l'informatique change tout : on atteint des milliers, puis des millions de décimales.
• Aujourd'hui, les records dépassent les cent mille milliards de décimales, calculées par des ordinateurs surpuissants.

Cette chasse n'a aucune utilité pratique : pour calculer la circonférence de l'univers observable au près d'un atome, une quarantaine de décimales suffirait largement. C'est surtout devenu un défi de calcul et un test pour les superordinateurs.

Là où on ne l'attend pas

Le plus fascinant avec $\pi$, c'est qu'il apparaît dans des situations sans aucun cercle visible. Comme si la géométrie du cercle se cachait au cœur des mathématiques elles-mêmes.

L'aiguille de Buffon

Au XVIII^e siècle, le naturaliste Buffon imagine une expérience étonnante. On trace sur le sol des lignes parallèles espacées d'une distance $d$, puis on lance au hasard une aiguille de longueur $\ell$ (avec $\ell \le d$). Quelle est la probabilité que l'aiguille tombe à cheval sur une ligne ?

$$P=\frac{2\ell }{\pi d}$$

Le nombre $\pi$ surgit ici alors qu'on parle d'aiguilles lancées au hasard ! Mieux : en répétant l'expérience un très grand nombre de fois et en comptant les croisements, on peut estimer la valeur de $\pi$ sans jamais dessiner de cercle. C'est l'une des premières méthodes dites « de Monte-Carlo », qui utilisent le hasard pour calculer un nombre.

Des sommes infinies

Au XVII^e siècle, Leibniz découvre une formule d'une beauté saisissante. En additionnant et en soustrayant à l'infini les inverses des nombres impairs, on tombe sur $\pi$ :

$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\dots$$

Plus spectaculaire encore, le problème dit « de Bâle », résolu par Euler : la somme des inverses de tous les carrés vaut

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$$

Pourquoi $\pi$ apparaît-il dans une simple addition de fractions, sans le moindre cercle ? C'est là toute la magie : $\pi$ est bien plus qu'une constante géométrique. Il est lié à la structure profonde des nombres, aux fonctions trigonométriques et à l'analyse. Le cercle n'était qu'une de ses nombreuses portes d'entrée.

Ce qu'il faut retenir

• $\pi \approx 3,14159$ est défini très simplement comme le rapport entre le périmètre et le diamètre d'un cercle, le même pour tous les cercles.
• Il est irrationnel (pas une fraction, décimales infinies non périodiques) et même transcendant (solution d'aucune équation polynomiale), ce qui rend la quadrature du cercle impossible.
• Calculer ses décimales est un défi millénaire, d'Archimède aux superordinateurs qui en trouvent aujourd'hui des milliers de milliards.
• Il apparaît bien au-delà de la géométrie : dans les probabilités (aiguille de Buffon) et dans des sommes infinies comme $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$.

Si $\pi$ semble être partout, c'est parce qu'il n'est pas seulement le nombre du cercle : c'est l'une des constantes les plus profondes des mathématiques, qui relie la géométrie, le hasard et l'infini.