Le paradoxe de Monty Hall : pourquoi changer de porte

Imagine que tu participes à un jeu télévisé. Devant toi, trois portes fermées. Derrière l'une d'elles, une voiture flambant neuve ; derrière les deux autres, une chèvre. Tu choisis une porte, disons la porte 1. Le présentateur, qui sait où se trouve la voiture, ouvre alors une autre porte cachant une chèvre, par exemple la porte 3. Puis il te pose la question : « Veux-tu garder la porte 1, ou changer pour la porte 2 ? »

Que fais-tu ? La plupart des gens haussent les épaules : « Deux portes, une voiture, c'est du 50/50, autant rester. » Et pourtant, cette intuition est fausse. Changer de porte double tes chances de gagner. Bienvenue dans le paradoxe de Monty Hall.

L'intuition trompeuse du 50/50

Le piège est redoutable parce qu'il semble évident. Après que le présentateur a éliminé une chèvre, il ne reste que deux portes. Notre cerveau conclut aussitôt : « une chance sur deux pour chacune ». L'erreur, c'est de croire que les deux portes restantes sont équivalentes.

Elles ne le sont pas. La clé du problème, c'est que le présentateur n'ouvre pas une porte au hasard : il connaît l'emplacement de la voiture et choisit toujours d'ouvrir une porte cachant une chèvre. Cette information change tout. Le présentateur t'a, sans le dire, donné un indice.

Le vrai calcul : pourquoi $P = \frac{2}{3}$ en changeant

Reprenons depuis le début, calmement. Au moment de ton premier choix, tu n'as aucune information : la voiture a une chance sur trois de se trouver derrière la porte que tu désignes.

Probabilité que ton choix initial soit bon (la voiture) : $\frac{1}{3}$ .
Probabilité que ton choix initial soit mauvais (une chèvre) : $\frac{2}{3}$ .

Voici l'idée décisive : ces probabilités ne changent pas quand le présentateur ouvre une porte. Ta porte de départ reste à $\frac{1}{3}$ . Mais alors, où passe le $\frac{2}{3}$ restant ? Comme une porte chèvre vient d'être éliminée, toute cette probabilité se concentre sur la seule autre porte fermée.

Autrement dit :

Si tu gardes ta porte : tu gagnes avec probabilité $\frac{1}{3}$ .
Si tu changes de porte : tu gagnes avec probabilité $\frac{2}{3}$ .

Changer double littéralement tes chances. Ce n'est pas une astuce de calcul : c'est une conséquence directe du fait que le présentateur t'a aidé.

L'argument qui rend tout limpide

Si le calcul te laisse encore sceptique, voici le raisonnement le plus convaincant. Pense à la stratégie « je change toujours de porte » et demande-toi : dans quels cas est-ce que je gagne ?

Quand tu changes, tu gagnes la voiture exactement lorsque ton choix initial était une chèvre. En effet, si tu as pointé une chèvre, le présentateur est obligé d'ouvrir l'autre chèvre, et la porte restante vers laquelle tu bascules cache forcément la voiture. Or, pointer une chèvre au départ arrive dans $\frac{2}{3}$ des cas. Donc en changeant, tu gagnes $\frac{2}{3}$ du temps. Net et sans formule compliquée.

La version par probabilités conditionnelles

En terminale, on peut formaliser tout cela proprement. Supposons que tu choisisses la porte 1 et que le présentateur ouvre la porte 3. On note $V_{i}$ l'événement « la voiture est derrière la porte $i$ », et $O_{3}$ l'événement « le présentateur ouvre la porte 3 ». On cherche $P (V_{2} ∣ O_{3})$ , la probabilité que la voiture soit en porte 2 sachant ce qu'on a observé.

Au départ, $P (V_{1}) = P (V_{2}) = P (V_{3}) = \frac{1}{3}$ . Examinons le comportement du présentateur :

Si la voiture est en porte 1 (ton choix) : il peut ouvrir la 2 ou la 3 au hasard, donc $P (O_{3} ∣ V_{1}) = \frac{1}{2}$ .
Si la voiture est en porte 2 : il ne peut ouvrir ni la 1 (ton choix) ni la 2 (la voiture), il est forcé d'ouvrir la 3, donc $P (O_{3} ∣ V_{2}) = 1$ .
Si la voiture est en porte 3 : il ne va pas révéler la voiture, donc $P (O_{3} ∣ V_{3}) = 0$ .

La formule de Bayes donne alors :

$P (V_{2} ∣ O_{3}) = \frac{P ( O _{3} ∣ V _{2} ) P ( V _{2} )}{P ( O _{3} )}$

Le dénominateur se calcule avec la formule des probabilités totales :

$P (O_{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

D'où :

$P (V_{2} ∣ O_{3}) = \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

Et de même, $P (V_{1} ∣ O_{3}) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$ . Le calcul rigoureux confirme l'intuition affinée : la porte vers laquelle tu changes vaut deux fois ta porte de départ.

Tu n'y crois toujours pas ? Simule !

Ce paradoxe a fait couler beaucoup d'encre. Quand la journaliste Marilyn vos Savant a publié la bonne réponse en 1990, des milliers de lecteurs, dont des professeurs de mathématiques, lui ont écrit pour la contredire. Elle avait raison. La meilleure façon de s'en convaincre est de jouer un grand nombre de parties et de compter.

Tu peux le faire à la main avec des cartes (deux rouges pour les chèvres, une noire pour la voiture) sur 30 parties : tu verras la stratégie « changer » l'emporter nettement. Mais quelques lignes de code suffisent à simuler des milliers de parties :

On place la voiture au hasard derrière une des trois portes.
Le joueur choisit une porte au hasard.
On applique la stratégie « changer », puis on regarde s'il gagne.
On répète l'expérience 10 000 fois et on calcule la fréquence de victoire.

Le résultat tombe invariablement : la stratégie « changer » gagne environ 66 % du temps, contre 33 % pour « garder ». La loi des grands nombres fait son œuvre : la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique $\frac{2}{3}$ . La simulation ne ment pas, même quand l'intuition se rebelle.

En résumé

Le paradoxe de Monty Hall est une magnifique leçon d'humilité mathématique. Notre intuition crie « 50/50 », mais elle oublie un détail capital : le présentateur connaît les réponses et agit en conséquence. En tenant compte de cette information, le calcul, qu'il soit mené par un raisonnement simple ou par les probabilités conditionnelles, est sans appel. Alors la prochaine fois qu'on t'ouvre une porte : change toujours. Et si quelqu'un en doute, propose-lui une petite simulation. Les nombres trancheront.