Le paradoxe des anniversaires : pourquoi 23 personnes suffisent

Posez la question autour de vous : « Dans une classe de 23 élèves, quelle est la probabilité que deux soient nés le même jour de l'année ? » La plupart des gens répondent « très faible, il y a 365 jours possibles ! ». Et pourtant, cette probabilité dépasse 50 %. C'est le célèbre paradoxe des anniversaires : un résultat parfaitement exact, mais si contraire à l'intuition qu'on l'appelle « paradoxe ».

Pourquoi notre intuition se trompe

L'erreur classique consiste à se demander : « Quelle chance qu'une autre personne ait mon anniversaire ? » Vu sous cet angle, il faudrait en effet réunir énormément de monde. Mais ce n'est pas la bonne question.

La question n'est pas « quelqu'un partage-t-il MON anniversaire ? », mais « existe-t-il, parmi toutes les paires possibles, deux personnes qui partagent le leur ? ». Or le nombre de paires explose très vite. Avec 23 personnes, on peut former $\frac{23\times 22}{2}=253$ paires différentes. Chaque paire est une occasion de coïncidence : 253 occasions, ce n'est plus si peu face à 365 jours.

Le calcul par la probabilité complémentaire

Pour calculer la probabilité qu'au moins deux personnes partagent leur anniversaire, on utilise une astuce très efficace : on calcule plutôt l'événement contraire, c'est-à-dire « toutes les personnes ont des anniversaires différents ». C'est le principe de la probabilité complémentaire :

$$P(\text{au moins deux identiques})=1-P(\text{tous diffeˊrents})$$

(Pour simplifier, on ignore les années bissextiles, on prend 365 jours, et on suppose les naissances réparties uniformément sur l'année.)

Imaginons que les personnes entrent une par une dans la pièce et annoncent leur date de naissance.

• La 1^re personne peut être née n'importe quel jour : aucune contrainte, probabilité $\frac{365}{365}$.
• Pour la 2^e, il reste 364 jours « libres » sur 365 pour éviter une coïncidence : $\frac{364}{365}$.
• Pour la 3^e, deux jours sont déjà pris, il en reste 363 : $\frac{363}{365}$.
• … et ainsi de suite jusqu'à la 23^e, pour qui il reste $365-22=343$ jours : $\frac{343}{365}$.

Comme ces choix sont indépendants, on multiplie toutes ces fractions :

$$P(\text{tous diffeˊrents})=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \cdots \times \frac{343}{365}$$

On peut l'écrire de façon compacte :

$$P(\text{tous diffeˊrents})=\frac{365\times 364\times \cdots \times 343}{365^{23}}\approx 0,4927$$

Il ne reste plus qu'à prendre le complémentaire :

$$P(\text{au moins deux identiques})=1-0,4927\approx 0,5073$$

Soit environ 50,7 %. À partir de 23 personnes, le pari « deux d'entre elles partagent leur anniversaire » est donc gagnant : on a un peu plus d'une chance sur deux.

Une montée en puissance fulgurante

Le plus surprenant est la vitesse à laquelle la probabilité grimpe quand on ajoute des personnes :

• 10 personnes : environ $11,7\%$
• 23 personnes : environ $50,7\%$ (le seuil franchi)
• 30 personnes : environ $70,6\%$
• 41 personnes : environ $90,3\%$
• 57 personnes : environ $99\%$
• 70 personnes : environ $99,9\%$

Avec seulement 57 personnes — un effectif d'amphi modeste — la quasi-certitude est atteinte. Et il faut bien 366 personnes pour être absolument certain (par le principe des tiroirs : 366 personnes pour 365 jours, deux tomberont forcément le même jour). Mais on n'a pas besoin de la certitude : la probabilité monte si vite qu'elle devient écrasante bien avant.

Ce que ce paradoxe nous apprend

Le paradoxe des anniversaires illustre une leçon précieuse en probabilités : notre intuition raisonne mal sur les combinaisons. Ce qui compte ici n'est pas le nombre de personnes, mais le nombre de paires, qui croît bien plus vite (de façon quadratique). Passer de 23 à 30 personnes ajoute quelques individus, mais des dizaines de paires supplémentaires.

Cette idée a des applications très concrètes. En informatique, le « birthday attack » exploite exactement ce phénomène pour trouver deux fichiers ayant la même empreinte numérique (le même hash) bien plus vite qu'on ne le croirait — un point central en cryptographie. Le même raisonnement aide à estimer la probabilité de collisions dans toutes sortes de systèmes.

La prochaine fois que vous serez dans un groupe d'une vingtaine de personnes, tentez le pari. Le calcul, lui, est de votre côté. Et c'est bien là toute la beauté des mathématiques : transformer une intuition trompeuse en une certitude chiffrée.