Les nombres complexes : module, argument, forme exponentielle

Pendant des siècles, l'équation $x^{2} = - 1$ a été déclarée sans solution : aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif. Les mathématiciens ont pourtant fini par franchir le pas en inventant un nouveau nombre, noté $i$ , vérifiant la règle fondamentale :

$i^{2} = - 1$

Cette simple convention ouvre tout un univers : celui des nombres complexes. Loin d'être une curiosité artificielle, ils sont devenus un outil essentiel en physique, en électronique et en géométrie.

La forme algébrique : a + ib

Un nombre complexe $z$ s'écrit sous sa forme algébrique :

$z = a + ib$

où $a$ et $b$ sont deux réels. On appelle $a$ la partie réelle (notée $Re (z)$ ) et $b$ la partie imaginaire (notée $Im (z)$ ). Attention : la partie imaginaire est bien le réel $b$ , pas $ib$ .

Les opérations se font comme avec des expressions algébriques ordinaires, en remplaçant simplement $i^{2}$ par $- 1$ dès qu'il apparaît. Par exemple :

$(2 + 3 i) (1 - i) = 2 - 2 i + 3 i - 3 i^{2} = 2 + i + 3 = 5 + i$

À tout complexe $z = a + ib$ on associe son conjugué $\overline{z} = a - ib$ . Le conjugué est précieux : le produit $z \overline{z} = a^{2} + b^{2}$ est toujours un réel positif, ce qui permet notamment de diviser deux complexes en multipliant par le conjugué du dénominateur.

Voir un complexe comme un point du plan

L'idée géniale est de représenter $z = a + ib$ par le point $M$ de coordonnées $(a; b)$ dans un plan muni d'un repère. On parle alors du plan complexe : l'axe horizontal porte les parties réelles, l'axe vertical les parties imaginaires. Le point $M$ est appelé l'image de $z$ , et $z$ l'affixe de $M$ .

Cette représentation transforme l'algèbre en géométrie. Deux quantités prennent alors tout leur sens : la distance du point à l'origine, et l'angle qu'il forme avec l'axe des réels.

Le module

Le module de $z$ , noté $∣ z ∣$ , est la distance entre l'origine $O$ et le point $M$ . D'après le théorème de Pythagore :

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = z \overline{z}$

Le module mesure la « taille » du nombre complexe. Il vérifie une propriété très utile : $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣$ .

L'argument

L'argument de $z$ (non nul), noté $ar g (z)$ , est une mesure de l'angle orienté entre l'axe des réels et le vecteur $O M$ . Il est défini à $2 π$ près. Si l'on note $θ$ cet argument, alors :

$cos θ = \frac{a}{∣ z ∣} et sin θ = \frac{b}{∣ z ∣}$

La forme trigonométrique

En posant $r = ∣ z ∣$ et $θ = ar g (z)$ , on retrouve $a = r cos θ$ et $b = r sin θ$ . On peut donc réécrire tout complexe non nul sous sa forme trigonométrique :

$z = r (cos θ + i sin θ)$

Cette écriture sépare clairement les deux informations géométriques : $r$ donne la longueur, $θ$ donne la direction. Elle est particulièrement commode pour les produits : multiplier deux complexes revient à multiplier leurs modules et à additionner leurs arguments.

La forme exponentielle et la formule d'Euler

C'est ici qu'intervient une des plus belles formules des mathématiques. Le grand Leonhard Euler a montré que l'on pouvait noter de façon condensée :

$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$

C'est la formule d'Euler. Elle n'est pas un simple raccourci d'écriture : elle reflète le fait que la fonction $θ \mapsto e^{i θ}$ se comporte, pour la multiplication, exactement comme l'exponentielle réelle pour l'addition. Grâce à elle, tout complexe non nul s'écrit sous sa forme exponentielle :

$z = r e^{i θ}$

Les calculs deviennent alors d'une simplicité remarquable. Le produit, le quotient et les puissances suivent les règles habituelles des exposants :

$r_{1} e^{i θ_{1}} \times r_{2} e^{i θ_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$
$\frac{r _{1} e ^{i θ_{1}}}{r _{2} e ^{i θ_{2}}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} e^{i (θ_{1} - θ_{2})}$
$(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ}$ (formule de Moivre)

En posant $θ = π$ dans la formule d'Euler, on obtient l'identité d'Euler, souvent citée comme la plus élégante de toutes les mathématiques car elle relie cinq constantes fondamentales :

$e^{iπ} + 1 = 0$

Des applications géométriques puissantes

La forme exponentielle révèle pleinement le lien entre complexes et géométrie. Multiplier un complexe $z$ par $e^{i α}$ revient à faire tourner son image d'un angle $α$ autour de l'origine, sans changer sa distance à $O$ . Multiplier par un réel $k > 0$ correspond à une homothétie de rapport $k$ .

Ainsi, les nombres complexes encodent naturellement les rotations et les similitudes du plan. On peut par exemple démontrer des propriétés sur des triangles ou des configurations géométriques par de simples calculs algébriques, là où la géométrie classique exigerait de longues constructions. Le module mesure des distances, la différence d'arguments mesure des angles : la géométrie devient du calcul.

Ce qu'il faut retenir

Tout repose sur $i^{2} = - 1$ , qui donne un sens à la racine d'un nombre négatif.
La forme algébrique $a + ib$ sert aux additions et multiplications ; le conjugué $\overline{z} = a - ib$ aide à diviser.
Le module $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ est une distance, l'argument est un angle.
Les formes trigonométrique $r (cos θ + i sin θ)$ et exponentielle $r e^{i θ}$ simplifient produits, quotients et puissances.
La formule d'Euler $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ unit l'analyse, la trigonométrie et la géométrie en une seule écriture.

Les nombres complexes ne sont pas qu'un caprice algébrique : ils sont le pont le plus élégant entre les nombres et l'espace.