Le nombre d'or et la suite de Fibonacci

Il existe un nombre qui fascine les mathématiciens, les artistes et les architectes depuis l'Antiquité. On l'appelle le nombre d'or, et on le note avec la lettre grecque $φ$ (phi). Sa valeur approchée est $φ \approx 1, 618$ . Mais d'où vient ce nombre, et pourquoi le retrouve-t-on aussi bien dans une coquille d'escargot que dans un tableau de la Renaissance ? C'est ce que nous allons découvrir.

Qu'est-ce que le nombre d'or ?

Le nombre d'or naît d'une question très simple de géométrie. Imaginons un segment que l'on coupe en deux parties, une grande $a$ et une petite $b$ . On dit que ce partage est harmonieux lorsque le rapport entre le tout et la grande partie est égal au rapport entre la grande partie et la petite. Autrement dit :

$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = φ$

Ce nombre possède une valeur exacte que l'on peut calculer :

$φ = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618$

Le nombre d'or a une propriété surprenante : son carré vaut exactement lui-même augmenté de 1. On a en effet $φ^{2} = φ + 1$ . De même, son inverse vaut $φ$ diminué de 1 : $\frac{1}{φ} = φ - 1 \approx 0, 618$ . Peu de nombres se comportent d'une manière aussi élégante !

La suite de Fibonacci

Changeons complètement de sujet... en apparence. Au XIII^e siècle, le mathématicien italien Leonardo Fibonacci étudie une suite de nombres qui porte aujourd'hui son nom. La règle est très simple : on commence par 1 et 1, puis chaque terme est la somme des deux précédents.

On obtient ainsi :

$F_{1} = 1$ , $F_{2} = 1$
$F_{3} = 1 + 1 = 2$
$F_{4} = 1 + 2 = 3$
$F_{5} = 2 + 3 = 5$
puis $8$ , $13$ , $21$ , $34$ , $55$ , $89$ , $144$ ...

Formellement, la suite est définie par la relation $F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1}$ . Ces nombres apparaissent dans de nombreux problèmes de dénombrement, par exemple le célèbre problème des lapins qui se reproduisent imaginé par Fibonacci lui-même.

Le lien entre les deux

Voici maintenant le moment magique. Calculons le rapport entre un terme de la suite et celui qui le précède, c'est-à-dire $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}}$ :

$\frac{3}{2} = 1, 5$
$\frac{5}{3} \approx 1, 667$
$\frac{8}{5} = 1, 6$
$\frac{13}{8} = 1, 625$
$\frac{21}{13} \approx 1, 615$
$\frac{34}{21} \approx 1, 619$

Tu l'as remarqué : ces rapports se rapprochent de plus en plus de 1,618, c'est-à-dire du nombre d'or ! On dit que la suite des rapports tend vers $φ$ , ce que l'on écrit :

$\frac{F _{n + 1}}{F _{n}} ⟶ φ quand n devient grand$

Deux idées qui semblaient totalement étrangères — un partage géométrique et une suite de nombres entiers — se révèlent profondément liées. C'est l'une des belles surprises des mathématiques.

Le rectangle d'or

Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal à $φ$ . Il possède une propriété remarquable : si on lui retire un carré, le rectangle restant est encore un rectangle d'or, plus petit. En répétant l'opération à l'infini et en reliant les coins des carrés, on dessine une élégante spirale, souvent appelée spirale dorée.

Le nombre d'or dans la nature et dans l'art

Ce qui rend $φ$ vraiment fascinant, c'est qu'on le retrouve un peu partout autour de nous :

Dans la nature : la disposition des graines au cœur d'un tournesol, l'enroulement de la coquille d'un nautile, l'arrangement des écailles d'une pomme de pin ou des feuilles autour d'une tige suivent souvent des nombres de Fibonacci. Cette organisation permet aux plantes d'optimiser l'espace et la lumière reçue.
Dans l'art et l'architecture : de nombreux artistes ont utilisé les proportions du rectangle d'or, jugées particulièrement harmonieuses à l'œil. On évoque souvent le Parthénon d'Athènes ou certaines compositions de Léonard de Vinci.

Attention toutefois : il faut rester prudent. On exagère parfois la présence du nombre d'or, en le voyant là où il n'est pas vraiment. Une bonne attitude scientifique consiste à vérifier les affirmations plutôt qu'à les croire sur parole.

Pour conclure

Le nombre d'or $φ = \frac{1 + 5}{2}$ est un magnifique exemple de la manière dont les mathématiques relient des domaines très différents : la géométrie d'un segment, une suite d'entiers, la croissance des plantes et le sens du beau. La prochaine fois que tu observeras une fleur de tournesol ou une coquille en spirale, tu sauras qu'un petit nombre d'environ 1,618 n'est peut-être pas loin !