e, le nombre d'Euler : d'où vient 2,71828 ?

Tu as sûrement déjà croisé le nombre e, environ égal à 2,71828, sur ta calculatrice ou dans un cours sur l'exponentielle. Contrairement à $π$ , qui se voit dans les cercles, e semble sortir de nulle part. Pourtant, ce nombre est partout : dans les intérêts d'un compte en banque, dans la désintégration radioactive, dans la croissance d'une population de bactéries. D'où vient-il vraiment, et pourquoi le qualifie-t-on de nombre naturel ?

Une histoire d'argent : Bernoulli et les intérêts composés

L'histoire commence au XVII^e siècle avec le mathématicien Jacob Bernoulli, qui se pose une question très concrète sur l'argent. Imagine que tu places 1 euro dans une banque très généreuse qui te promet 100 % d'intérêts par an. Au bout d'un an, tu as donc 2 euros. Simple.

Mais que se passe-t-il si la banque te verse les intérêts plus souvent ? Imaginons qu'elle te donne 50 % tous les six mois. Après six mois, tu as $1 \times 1, 5 = 1, 5$ euro. Après un an, ces 1,5 euro gagnent encore 50 %, ce qui donne $1, 5 \times 1, 5 = 2, 25$ euros. C'est mieux que 2 euros, car les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts : c'est le principe des intérêts composés.

Et si on découpait l'année en encore plus de morceaux ? Avec $n$ versements dans l'année, le capital final est :

$(1 + \frac{1}{n})^{n}$

Tous les mois ( $n = 12$ ) : environ 2,613
Tous les jours ( $n = 365$ ) : environ 2,7146
Toutes les heures ( $n = 8760$ ) : environ 2,7181

On pourrait croire qu'en versant les intérêts de plus en plus souvent, on deviendrait infiniment riche. Mais non ! Le résultat se rapproche d'une limite bien précise, qu'il ne dépassera jamais :

$(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e \approx 2, 71828$

Ce nombre e est donc la réponse à la question : « jusqu'où peut grimper un capital qui se réinvestit en continu ? » C'est la croissance continue poussée à son maximum.

La propriété magique : une fonction égale à sa propre dérivée

Le nombre e a une seconde vie, encore plus importante en mathématiques. On peut construire une fonction à partir de lui : la fonction exponentielle $x \mapsto e^{x}$ . Et cette fonction possède une propriété unique, qu'aucune autre fonction ne partage de façon aussi simple :

$(e^{x})^{'} = e^{x}$

Autrement dit, sa dérivée est égale à elle-même. En clair : la vitesse à laquelle la fonction augmente est exactement égale à sa valeur. Plus la quantité est grande, plus elle grandit vite ; plus elle est petite, plus elle grandit lentement. C'est précisément ce qu'est une croissance proportionnelle à soi-même.

C'est cette propriété qui fait de e le nombre naturel pour décrire la croissance. On aurait pu choisir d'autres bases, comme $2^{x}$ ou $1 0^{x}$ , mais leurs dérivées font apparaître un coefficient encombrant. Seule la base e donne une formule parfaitement propre. C'est pour cette raison que le logarithme de base e s'appelle le logarithme naturel, noté $ln$ .

Pourquoi e est partout dans la nature

Dès qu'un phénomène évolue à une vitesse proportionnelle à sa taille, le nombre e apparaît. C'est étonnamment fréquent dans le monde réel.

La croissance

Une population de bactéries qui double régulièrement, un capital placé, le nombre de partages d'une vidéo virale : tant que rien ne freine, plus il y a d'individus, plus il s'en crée. La quantité suit alors une loi du type $N (t) = N_{0} e^{k t}$ , avec $k > 0$ . C'est la croissance exponentielle.

La décroissance

À l'inverse, certains phénomènes diminuent à une vitesse proportionnelle à ce qu'il reste. Un atome radioactif se désintègre d'autant plus (en nombre) qu'il y a d'atomes présents ; une tasse de café chaud perd sa chaleur d'autant plus vite qu'elle est loin de la température ambiante. On obtient alors $N (t) = N_{0} e^{- k t}$ , avec $k > 0$ : c'est la décroissance exponentielle, qui décrit aussi bien la radioactivité que la décharge d'un condensateur ou l'élimination d'un médicament par l'organisme.

Dans tous ces cas, le « moteur » est le même : la variation est proportionnelle à la quantité présente. Et le langage mathématique de ce moteur, c'est la fonction exponentielle bâtie sur e.

Ce qu'il faut retenir

Le nombre e $\approx 2, 71828$ est un nombre irrationnel (ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas), tout comme $π$ .
Il apparaît comme la limite de $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ quand $n$ devient infiniment grand : c'est la croissance continue idéale.
La fonction $e^{x}$ est la seule (à un facteur simple près) à vérifier $(e^{x})^{'} = e^{x}$ : elle est sa propre dérivée.
C'est pourquoi e est le langage naturel de tout ce qui croît ou décroît proportionnellement à sa taille.

La prochaine fois que tu verras 2,71828 surgir dans un exercice, souviens-toi : ce n'est pas un nombre tombé du ciel, mais la signature universelle de la croissance.