Méthode : résoudre une équation du second degré

Reconnaître une équation du second degré

Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme $a{x}^2+bx+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels et, surtout, $a\ne 0$. Si $a=0$, il ne reste que $bx+c=0$ : c'est une équation du premier degré, et toute la méthode ci-dessous ne s'applique plus.

L'expression $a{x}^2+bx+c$ s'appelle un trinôme du second degré. Avant tout calcul, ramène toujours l'équation à la forme $a{x}^2+bx+c=0$ : on regroupe tous les termes dans le membre de gauche pour obtenir un zéro à droite. Identifie alors clairement les trois coefficients $a$, $b$ et $c$, signes compris.

Calculer le discriminant

La clé de la méthode est un nombre appelé discriminant, noté $\Delta$ (lettre grecque delta) :

$$\Delta =b^2-4ac$$

Le signe de $\Delta$ détermine entièrement le nombre de solutions. On distingue trois cas.

Cas 1 : $\Delta >0$ — deux racines distinctes

Lorsque le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ :

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}{x}_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$$

On calcule d'abord $\sqrt{\Delta }$, puis on applique la formule deux fois en changeant uniquement le signe devant la racine.

Cas 2 : $\Delta =0$ — une racine double

Lorsque le discriminant est nul, l'équation admet une seule solution, appelée racine double :

$$x_0=\frac{-b}{2a}$$

Cas 3 : $\Delta <0$ — aucune racine réelle

Lorsque le discriminant est strictement négatif, l'équation n'a aucune solution réelle. On ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif dans l'ensemble des réels : on conclut simplement que l'ensemble des solutions est vide.

Factoriser le trinôme

Connaître les racines permet d'écrire le trinôme sous forme factorisée, très utile pour étudier un signe ou simplifier une expression.

• Si $\Delta >0$ : $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
• Si $\Delta =0$ : $a{x}^2+bx+c=a(x-x_0{)}^2$
• Si $\Delta <0$ : le trinôme ne se factorise pas dans les réels.

Cette factorisation découle directement des racines : ne la cherche jamais « à la main » par essais successifs quand le discriminant donne la réponse immédiatement.

Étudier le signe du trinôme

Le signe de $a{x}^2+bx+c$ obéit à une règle simple, souvent résumée par : le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines.

• Si $\Delta >0$ : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines (avant $x_1$ et après $x_2$), et du signe opposé à $a$ entre les deux racines. Il s'annule en $x_1$ et $x_2$.
• Si $\Delta =0$ : le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf en $x_0$ où il s'annule.
• Si $\Delta <0$ : le trinôme garde un signe constant, celui de $a$, et ne s'annule jamais.

Un tableau de signes rend cette analyse claire et limite les erreurs, notamment pour résoudre une inéquation du second degré.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier de vérifier $a\ne 0$ : sans ce contrôle, appliquer la formule du discriminant n'a aucun sens.
• Se tromper de signe dans $\Delta =b^2-4ac$ : quand $a$ ou $c$ est négatif, le terme $-4ac$ peut devenir positif. Calcule chaque facteur avec ses parenthèses.
• Oublier le $-b$ au numérateur : la formule commence par $-b$, et non par $b$. Si $b=-3$, alors $-b=3$.
• Diviser par $a$ au lieu de $2a$ : le dénominateur de la formule est bien $2a$.
• Conclure $\Delta <0$ « pas de solution » trop vite : recalcule $\Delta$ avant de l'affirmer, une erreur de signe est vite arrivée.
• Confondre racine et signe : une racine annule le trinôme ; entre les racines, le trinôme n'est pas nul mais simplement de signe opposé à $a$.

En suivant cet ordre — forme $a{x}^2+bx+c=0$, calcul de $\Delta$, distinction des trois cas, puis factorisation et signe — tu disposes d'une méthode fiable applicable à toutes les équations du second degré.