Méthode : étudier une suite (récurrence, monotonie, limite)

Pourquoi une méthode ?

Étudier une suite $(u_{n})$ , c'est répondre à trois questions dans un ordre logique : la suite est-elle bien définie et minorée/majorée ? Est-elle croissante ou décroissante ? Converge-t-elle, et vers quelle limite ? La plupart des exercices de Terminale suivent ce fil. Voici la marche à suivre, avec les outils à mobiliser à chaque étape.

Étape 1 : démontrer une propriété par récurrence

Dès qu'une suite est définie par une relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , on prouve souvent ses propriétés (encadrement, signe, formule explicite) par récurrence. La rédaction comporte toujours trois temps.

Initialisation

On vérifie que la propriété $P (n)$ est vraie au premier rang, en général $P (0)$ ou $P (1)$ . Cette étape est courte mais indispensable : sans elle, la démonstration est fausse.

Hérédité

On suppose $P (n)$ vraie pour un entier $n$ quelconque fixé (c'est l'hypothèse de récurrence), puis on démontre $P (n + 1)$ . C'est ici qu'on utilise la relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et, souvent, les variations de $f$ .

Conclusion

Par le principe de récurrence, $P (n)$ est vraie pour tout $n$ . On n'oublie jamais cette phrase finale.

Étape 2 : déterminer le sens de variation

Trois techniques, à choisir selon la forme de la suite.

Étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ . Si cette différence est positive pour tout $n$ , la suite est croissante ; si elle est négative, décroissante. C'est la méthode la plus universelle.
Comparer le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ à $1$ lorsque tous les termes sont strictement positifs. Si le quotient est supérieur à $1$ , la suite croît ; s'il est inférieur à $1$ , elle décroît.
Utiliser les variations d'une fonction. Si $u_{n} = g (n)$ , le sens de variation de la suite est donné par celui de $g$ sur $[0; + \infty [$ .

Attention : une suite définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ n'a pas forcément le même sens de variation que $f$ . On revient alors à l'étude du signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , souvent par récurrence.

Étape 3 : majorer ou minorer

Une suite est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ ; elle est minorée s'il existe $m$ tel que $u_{n} \geq m$ . Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

En pratique, on devine la borne (souvent la limite candidate) puis on la démontre par récurrence. Par exemple, pour prouver $0 \leq u_{n} \leq 2$ , on vérifie l'encadrement au rang initial, puis on suppose $0 \leq u_{n} \leq 2$ et on applique $f$ en utilisant ses variations pour obtenir $0 \leq u_{n + 1} \leq 2$ .

Étape 4 : conclure sur la convergence

Le théorème de la convergence monotone

C'est l'outil clé de Terminale :

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Ce théorème garantit l'existence d'une limite finie, mais ne la donne pas. Une suite croissante non majorée, elle, tend vers $+ \infty$ .

Trouver la limite par le point fixe

Si $(u_{n})$ est définie par $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , qu'elle converge vers une limite $ℓ$ et que $f$ est continue, alors $ℓ$ vérifie l'équation du point fixe :

$ℓ = f (ℓ)$

On résout cette équation, puis on retient la solution compatible avec l'encadrement trouvé à l'étape 3. Ainsi, si $lim u_{n} = ℓ$ et $f (x) = x + 2$ , on résout $ℓ = ℓ + 2$ , soit $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , d'où $ℓ = 2$ (la racine négative est exclue car $u_{n} \geq 0$ ).

L'astuce de la suite auxiliaire géométrique

Quand la relation est de la forme $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ (suite arithmético-géométrique), une seule récurrence ne suffit pas. On introduit une suite auxiliaire $v_{n} = u_{n} - ℓ$ , où $ℓ$ est le point fixe vérifiant $ℓ = a ℓ + b$ .

On démontre alors que $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$ : on calcule $v_{n + 1} = u_{n + 1} - ℓ = a (u_{n} - ℓ) = a v_{n}$ . On en déduit la formule explicite $v_{n} = v_{0} a^{n}$ , puis $u_{n} = ℓ + v_{0} a^{n}$ . Si $∣ a ∣ < 1$ , on conclut immédiatement que $lim u_{n} = ℓ$ , puisque $lim a^{n} = 0$ .

Récapitulatif

Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
Variations : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ , quotient, ou fonction associée.
Bornes : majorer/minorer par récurrence, souvent avec la limite candidate.
Convergence : théorème monotone pour l'existence, point fixe $ℓ = f (ℓ)$ pour la valeur.
Suite auxiliaire : $v_{n} = u_{n} - ℓ$ géométrique pour les suites $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ .

Avec cette grille, n'importe quel exercice sur les suites se traite méthodiquement, de la définition jusqu'à la limite.