Méthode : calculer une limite et lever une forme indéterminée

Reconnaître une forme indéterminée

Calculer une limite, c'est d'abord remplacer mentalement $x$ par la valeur visée et regarder ce qui se passe. Dans la grande majorité des cas, le calcul se termine directement. Le problème n'arrive que dans un nombre limité de situations : les formes indéterminées (FI), où les règles habituelles ne permettent pas de conclure.

En Terminale, on rencontre exactement quatre formes indéterminées :

• $\frac{0}{0}$
• $\frac{\infty }{\infty }$
• $0\times \infty$
• $\infty -\infty$

Indéterminée ne veut pas dire « impossible » : cela signifie que le résultat peut être n'importe quoi (un réel, $+\infty$, $-\infty$) selon les fonctions en jeu. Il faut donc transformer l'expression avant de conclure. Chaque type de FI a sa technique privilégiée.

Technique 1 : factoriser le terme dominant

C'est la méthode reine pour les FI du type $\frac{\infty }{\infty }$ et $\infty -\infty$ avec des polynômes ou des fractions rationnelles. L'idée : mettre en facteur le terme de plus haut degré, car c'est lui qui « écrase » les autres quand $x\to \pm \infty$.

Exemple : un polynôme

Calculons $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2-5x+3\right)$. À première vue, $+\infty -\infty +3$ : forme $\infty -\infty$. On factorise par $x^2$ :

$2x^2-5x+3=x^2\left(2-\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}\right)$.

Quand $x\to +\infty$, on a $\frac{5}{x}\to 0$ et $\frac{3}{x^2}\to 0$, donc la parenthèse tend vers $2$. Comme $x^2\to +\infty$, le produit tend vers $+\infty$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2-5x+3\right)=+\infty$.

À retenir : la limite d'un polynôme en $\pm \infty$ est toujours celle de son terme de plus haut degré.

Exemple : une fraction rationnelle

Calculons $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+1}{x^2-x}$ (forme $\frac{\infty }{\infty }$). On factorise haut et bas par le terme dominant :

$\frac{3x^2+1}{x^2-x}=\frac{x^2\left(3+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{3+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$.

Quand $x\to +\infty$, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$. Donc la limite vaut $\frac{3}{1}=3$.

Technique 2 : la quantité conjuguée

Dès qu'une racine carrée apparaît dans une FI du type $\infty -\infty$, le réflexe est de multiplier par la quantité conjuguée. On utilise l'identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ pour faire disparaître la racine du numérateur.

Exemple résolu

Calculons $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$. C'est une forme $\infty -\infty$. On multiplie et divise par le conjugué $\sqrt{x^2+x}+x$ :

$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$.

On factorise alors par $x$ au dénominateur (avec $x>0$, donc $\sqrt{x^2}=x$) :

$\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$.

Quand $x\to +\infty$, le dénominateur tend vers $\sqrt{1}+1=2$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac{1}{2}$.

Technique 3 : les croissances comparées

Lorsqu'une FI mêle exponentielle, logarithme et puissances de $x$, la factorisation ne suffit pas : il faut connaître les croissances comparées. Le principe : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte elle-même sur le logarithme.

Les résultats à mémoriser, pour tout entier $n\ge 1$ :

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ (l'exponentielle gagne)
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$ (le logarithme perd)
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

Exemple résolu

Calculons $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2+1}$. C'est une forme $\frac{\infty }{\infty }$. On compare $e^x$ et $x^2$. En factorisant le dénominateur par $x^2$ :

$\frac{e^x}{x^2+1}=\frac{e^x}{x^2}\times \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}$.

D'après les croissances comparées, $\frac{e^x}{x^2}\to +\infty$, et le second facteur tend vers $1$. Donc la limite vaut $+\infty$.

La méthode en bref

Face à une limite, procède toujours dans cet ordre :

• 1. Remplace $x$ par la valeur visée et identifie s'il y a une FI.
• 2. Si oui, repère le type ($\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\times \infty$, $\infty -\infty$).
• 3. Polynômes ou fractions rationnelles : factorise le terme dominant.
• 4. Présence d'une racine : multiplie par la quantité conjuguée.
• 5. Mélange d'exponentielle ou de logarithme : croissances comparées.

Avec ces trois techniques, tu peux lever la quasi-totalité des formes indéterminées du programme de Terminale. Le plus important n'est pas de deviner le résultat, mais de transformer l'expression jusqu'à éliminer l'indétermination.