L'intégration par parties : quand et comment l'utiliser

Tu sais intégrer $x^2$, $\cos x$, $e^x$… mais que faire face à un produit comme $x{e}^x$ ou $x\ln x$ ? Aucune primitive directe ne fonctionne. C'est exactement là qu'intervient l'intégration par parties (IPP), l'une des techniques les plus puissantes du programme de Terminale.

La formule

L'IPP découle de la dérivée d'un produit : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. En intégrant cette égalité, on obtient la formule centrale :

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)dx$

L'idée est simple : on remplace une intégrale qu'on ne sait pas calculer par une autre intégrale, qu'on espère plus facile. On échange du travail contre du travail, en pariant que le nouveau est plus léger.

Conditions : $u$ et $v$ doivent être dérivables et leurs dérivées continues sur $[a;b]$. En pratique, avec des fonctions polynômes, exponentielles et logarithmes, c'est toujours vérifié.

Quand l'utiliser ?

Le réflexe : pense IPP dès que tu vois un produit de deux fonctions de natures différentes, par exemple :

• un polynôme multiplié par une exponentielle : $x{e}^x$, $(2x+1)e^{-x}$ ;
• un polynôme multiplié par un logarithme : $x\ln x$, $x^2\ln x$ ;
• un polynôme multiplié par une fonction trigonométrique : $x\cos x$, $x\sin x$ ;
• un logarithme « seul » : $\ln x$ (on l'écrit comme $1\times \ln x$).

Comment choisir $u$ et $v^{\prime }$ ?

Tu décomposes l'intégrande en deux morceaux : la partie que tu vas dériver (appelons-la $v$) et la partie que tu vas intégrer (appelons-la $u^{\prime }$). Le bon choix est celui qui simplifie la nouvelle intégrale.

Une règle pratique très fiable : on dérive ce qui se simplifie en dérivant.

• Un polynôme ($x$, $x^2$…) baisse de degré quand on le dérive → on le choisit comme la partie à dériver.
• Un logarithme $\ln x$ devient $\frac{1}{x}$ quand on le dérive (il « disparaît ») → on le dérive aussi.
• L'exponentielle $e^x$ ne change pas en s'intégrant → c'est un excellent candidat pour la partie à intégrer.

Petit moyen mnémotechnique (ordre de priorité pour dériver) : Logarithme, puis Polynôme, puis Exponentielle/trigo. Ce qui vient en premier dans « LPE » est ce qu'on dérive.

Exemple 1 — Le polynôme fois exponentielle : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx$

Ici $x$ est un polynôme et $e^x$ une exponentielle. On dérive le polynôme et on intègre l'exponentielle :

$v(x)=x\Rightarrow v^{\prime }(x)=1u^{\prime }(x)=e^x\Rightarrow u(x)=e^x$

On applique la formule :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx=[x{e}^x{]}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}1\cdot e^{x}dx$

$=(1\cdot e^1-0\cdot e^0)-[e^x{]}_0^1=e-(e-1)=1$

Remarque comme la nouvelle intégrale $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$ est immédiate : c'est tout l'intérêt de la méthode. Le facteur $x$ a disparu en se dérivant.

Exemple 2 — Le polynôme fois logarithme : $\int x\ln xdx$

Attention, ici on ne dérive pas le polynôme ! Le logarithme est encore plus prioritaire : c'est lui qu'on dérive, car $\ln x$ n'a pas de primitive « simple », alors que $x$ s'intègre facilement.

$v(x)=\ln x\Rightarrow v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}{u}^{\prime }(x)=x\Rightarrow u(x)=\frac{x^2}{2}$

$\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x}{2}dx$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$

Vérification (dérive le résultat) : $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x\right)=x\ln x+\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}=x\ln x+\frac{x}{2}$, et $\frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{4}\right)=-\frac{x}{2}$. La somme donne bien $x\ln x$. ✓

Exemple 3 — Le logarithme « seul » : $\int \ln xdx$

Comment intégrer par parties un produit… qui n'est pas un produit ? L'astuce classique : écris $\ln x=1\times \ln x$. On dérive $\ln x$ et on intègre le $1$ :

$v(x)=\ln x\Rightarrow v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}{u}^{\prime }(x)=1\Rightarrow u(x)=x$

$\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-\int 1dx=x\ln x-x+C$

Vérification : $\frac{d}{dx}(x\ln x-x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x$. ✓ Ce résultat $\int \ln xdx=x\ln x-x+C$ est à connaître : il revient souvent.

Les pièges à éviter

• Mauvais choix de $u$ et $v^{\prime }$. Si la nouvelle intégrale est plus compliquée que celle de départ, tu t'es trompé de répartition : recommence en échangeant les rôles. Une bonne IPP doit toujours simplifier.
• Oublier le crochet. Pour une intégrale définie, le terme $[uv{]}_a^b$ doit être évalué entre les bornes — ne le néglige pas.
• Signe de la deuxième intégrale. La formule contient un moins : $-\int u{v}^{\prime }$. C'est l'erreur de signe la plus fréquente.
• Le $\ln$ est toujours dérivé, jamais intégré. Tant que tu n'as pas appris à intégrer $\ln$, place-le systématiquement du côté qu'on dérive.
• Constante d'intégration. Pour une primitive (intégrale sans bornes), n'oublie pas le $+C$ final.

En résumé

L'intégration par parties transforme un produit récalcitrant en une intégrale plus simple grâce à $\int u^{\prime }v=[uv]-\int u{v}^{\prime }$. La clé tient en une phrase : dérive ce qui se simplifie (logarithme ou polynôme), intègre le reste. Entraîne-toi sur $\int x\cos xdx$ et $\int x^2{e}^{x}dx$ (cette dernière demande deux IPP successives) pour ancrer le réflexe. Avec un peu de pratique, repérer le bon découpage devient automatique.