Géométrie complexe : rotations et similitudes

Pourquoi les complexes simplifient la géométrie

En Terminale (option maths expertes), les nombres complexes offrent un langage très puissant pour la géométrie plane. L'idée clé : une transformation géométrique compliquée (rotation, similitude) devient une simple opération algébrique sur les affixes. Distances et angles se lisent directement sur les modules et arguments. C'est souvent plus rapide que la géométrie vectorielle classique.

Affixe d'un point

À chaque point $M (a, b)$ du plan on associe son affixe $z_{M} = a + ib$ . Réciproquement, tout complexe $z$ correspond à un unique point. On parle aussi de l'affixe d'un vecteur : $z_{A B} = z_{B} - z_{A}$ .

Distances et angles

Distance : $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ (module de la différence des affixes).
Angle orienté : $(A B, A C) = ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) [2 π]$ .

Ces deux formules suffisent à démontrer qu'un triangle est rectangle, isocèle ou équilatéral sans figure.

La rotation

La rotation de centre $Ω$ (affixe $ω$ ) et d'angle $θ$ envoie le point $M$ d'affixe $z$ sur le point $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ défini par :

z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)

Lorsque le centre est l'origine $O$ , la formule se simplifie : $z^{'} = e^{i θ} z$ . Multiplier par $e^{i θ}$ revient géométriquement à faire tourner d'un angle $θ$ autour de $O$ .

Exemple résolu

Soit la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ . Cherchons l'image de $M$ d'affixe $z = 2 + i$ .

Étape 1. On sait que $e^{iπ /2} = i$ .

Étape 2. $z^{'} = i \cdot (2 + i) = 2 i + i^{2} = 2 i - 1 = - 1 + 2 i$ .

Étape 3. Donc $M^{'}$ a pour coordonnées $(- 1, 2)$ . On vérifie : $∣ z^{'} ∣ = ∣ z ∣ = 5$ (la rotation conserve les distances), c'est cohérent.

La similitude directe

Une similitude directe de centre $Ω$ , de rapport $k > 0$ et d'angle $θ$ combine une rotation et un agrandissement :

z^{'} - ω = k e^{i θ} (z - ω)

Toute similitude directe s'écrit sous forme compacte $z^{'} = a z + b$ , avec $a = k e^{i θ}$ (donc $k = ∣ a ∣$ et $θ = ar g a$ ) et $b$ déterminé par le point fixe. Le centre $ω$ se trouve en résolvant $ω = aω + b$ , soit $ω = \frac{b}{1 - a}$ lorsque $a \neq = 1$ .

Alignement et orthogonalité

$A, B, C$ alignés $⟺ \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ .
$(A B) ⊥ (C D) ⟺ \frac{z _{D} - z _{C}}{z _{B} - z _{A}} \in i R$ (imaginaire pur).

Lieux géométriques classiques

$∣ z - z_{A} ∣ = r$ : cercle de centre $A$ et de rayon $r$ .
$∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣$ : médiatrice du segment $[A B]$ .
$ar g (z - z_{A}) = θ [2 π]$ : demi-droite issue de $A$ , de direction $θ$ .

À retenir

Rotation : $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ — module $1$ , conserve les distances.
Similitude directe : $z^{'} - ω = k e^{i θ} (z - ω)$ , ou $z^{'} = a z + b$ avec $k = ∣ a ∣$ , $θ = ar g a$ .
Distance $= ∣ z_{B} - z_{A} ∣$ ; angle $= ar g \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ .

Pièges à éviter

Oublier l'orientation : une rotation de $+ \frac{π}{2}$ et une de $- \frac{π}{2}$ donnent des images différentes.
Confondre similitude directe (conserve l'orientation) et indirecte (la renverse, de la forme $z^{'} = a \overset{z}{ˉ} + b$ ).
Inverser l'argument du quotient : $ar g (\frac{z _{2}}{z _{1}}) = ar g z_{2} - ar g z_{1}$ , dans cet ordre.
Confondre $∣ z_{B} - z_{A} ∣$ (distance, un réel positif) et $z_{B} - z_{A}$ (un complexe).

Pourquoi multiplier, c'est tourner

Pour bien comprendre la rotation, il faut voir un complexe sous forme exponentielle : $z = r e^{i α}$ , où $r = ∣ z ∣$ est le module et $α = ar g z$ l'argument. Multiplier deux complexes, c'est multiplier les modules et additionner les arguments : $r_{1} e^{i α_{1}} \times r_{2} e^{i α_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (α_{1} + α_{2})}$ . Ainsi, multiplier par $e^{i θ}$ (de module $1$ ) ne change pas la distance à l'origine mais ajoute $θ$ à l'argument : c'est exactement une rotation d'angle $θ$ . Multiplier par $k e^{i θ}$ ajoute en plus un agrandissement de rapport $k$ : c'est une similitude.

Caractériser un triangle

Le quotient $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ contient toute l'information utile. Son module est le rapport des longueurs $\frac{A C}{A B}$ et son argument est l'angle $(A B, A C)$ .

Exemple. Soient $A$ , $B$ , $C$ d'affixes $z_{A} = 1$ , $z_{B} = 3 + i$ , $z_{C} = 2 + 2 i$ . Calculons $Z = \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{1 + 2 i}{2 + i}$ . En multipliant par le conjugué : $Z = \frac{( 1 + 2 i ) ( 2 - i )}{( 2 + i ) ( 2 - i )} = \frac{2 - i + 4 i + 2}{4 + 1} = \frac{4 + 3 i}{5}$ . Son module vaut $\frac{∣4 + 3 i ∣}{5} = \frac{5}{5} = 1$ , donc $A C = A B$ : le triangle est isocèle en $A$ . L'argument n'étant ni $0$ ni $π$ , les points ne sont pas alignés : le triangle est bien non aplati.

Similitude indirecte

À côté de la similitude directe, il existe la similitude indirecte, qui renverse l'orientation. Son écriture fait intervenir le conjugué : $z^{'} = a \overset{z}{ˉ} + b$ . La réflexion (symétrie axiale) en est un cas particulier, de rapport $1$ . Savoir distinguer une écriture en $z$ (directe) d'une écriture en $\overset{z}{ˉ}$ (indirecte) est un réflexe attendu au bac.

Plus d'exercices : chapitre nombres complexes en Terminale.