Comment factoriser un polynôme : 4 méthodes

Factoriser, c'est trouver les racines

Factoriser un polynôme $P (x)$ , c'est l'écrire comme un produit de facteurs de degré $1$ ou $2$ . Chaque facteur $(x - a)$ révèle une racine $a$ (une valeur qui annule $P$ ). C'est la clé pour résoudre des équations, étudier le signe d'une expression ou simplifier une fraction rationnelle. En Première et Terminale spé Maths, quatre méthodes couvrent tous les cas du programme.

Méthode 1 — La racine évidente

On teste les petites valeurs : $0, 1, - 1, 2, - 2$ , puis les diviseurs du terme constant. Si $P (a) = 0$ , alors $(x - a)$ est un facteur de $P$ et l'on peut écrire $P (x) = (x - a) Q (x)$ .

Exemple : pour $P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ , on teste $P (2) = 8 - 12 + 4 = 0$ . Donc $2$ est racine et $(x - 2)$ divise $P$ .

Méthode 2 — La division euclidienne

Une fois la racine $a$ trouvée, on divise $P (x)$ par $(x - a)$ pour obtenir le quotient $Q (x)$ , de degré inférieur.

Suite de l'exemple : la division de $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ par $(x - 2)$ donne $x^{3} - 3 x^{2} + 4 = (x - 2) (x^{2} - x - 2) .$ Le facteur $x^{2} - x - 2$ se factorise à son tour en $(x - 2) (x + 1)$ . D'où la factorisation complète : $P (x) = (x - 2)^{2} (x + 1) .$

Méthode 3 — Le schéma de Horner

Plus rapide que la division posée, le schéma de Horner divise $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ par $(x - r)$ . On construit la suite $b_{k}$ par : $b_{n} = a_{n}$ puis $b_{k - 1} = a_{k - 1} + r b_{k}$ .

Coefficients	$a_{n}$	$a_{n - 1}$	$\dots$	$a_{0}$
$\times r$ puis $+$	$b_{n} = a_{n}$	$b_{n - 1} = a_{n - 1} + r b_{n}$	$\dots$	$b_{0}$ (reste)

Le quotient est $b_{n} x^{n - 1} + b_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + b_{1}$ , et $b_{0}$ est le reste — nul si $r$ est bien racine. C'est un excellent gain de temps en contrôle.

Méthode 4 — Les identités remarquables

À reconnaître au premier coup d'œil :

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ;
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ ;
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ ;
$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ et $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .

Par exemple, $x^{4} - 16 = (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) = (x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4)$ . Le facteur $x^{2} + 4$ reste, lui, irréductible dans $R$ car il n'a pas de racine réelle.

Pense aussi au facteur commun : avant toute autre méthode, mets en évidence ce qui se factorise immédiatement. Par exemple $2 x^{3} - 8 x = 2 x (x^{2} - 4) = 2 x (x - 2) (x + 2)$ : un seul coup d'œil suffit.

Le cas incontournable du second degré

Pour $a x^{2} + b x + c$ , on calcule le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ :

$Δ > 0$ : deux racines réelles, $P (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ;
$Δ = 0$ : une racine double, $P (x) = a (x - x_{0})^{2}$ avec $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ ;
$Δ < 0$ : pas de racine réelle, $P$ est irréductible dans $R$ (mais factorisable dans $C$ ).

Exemple résolu pas à pas

Factorisons entièrement $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ .

Racine évidente : $P (2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ . Donc $(x - 2)$ est facteur.
Horner avec $r = 2$ : coefficients $2, - 3, - 3, 2$ . On obtient $b = 2, 1, - 1, 0$ . Le reste est $0$ : la racine est confirmée, et le quotient est $2 x^{2} + x - 1$ .
Second degré : pour $2 x^{2} + x - 1$ , $Δ = 1 + 8 = 9 > 0$ , d'où $x = \frac{- 1 \pm 3}{4}$ , soit $x = \frac{1}{2}$ ou $x = - 1$ .
Conclusion : $P (x) = 2 (x - 2) (x - \frac{1}{2}) (x + 1) = (x - 2) (2 x - 1) (x + 1) .$

La stratégie à suivre au bac

Regarde le degré : si c'est $2$ , calcule $Δ$ ; si c'est plus, cherche une racine évidente.
Une fois la racine $a$ trouvée, divise par $(x - a)$ — Horner si tu veux aller vite.
Recommence sur le quotient jusqu'à n'avoir que des facteurs de degré $1$ ou $2$ .
Termine les facteurs de degré $2$ avec le discriminant.

Les pièges classiques

Oublier le coefficient dominant $a$ dans la forme factorisée du second degré.
Confondre une racine double et deux racines distinctes quand $Δ = 0$ .
Mal aligner les coefficients dans Horner (n'oublie pas un coefficient nul s'il manque un degré).
Déclarer « non factorisable » trop vite : un degré $\geq 3$ a toujours au moins une racine réelle.

À retenir

Pour un degré $2$ , le discriminant $Δ$ tranche tout. Pour un degré supérieur, le trio gagnant est : racine évidente $\to$ Horner $\to$ on recommence. Et garde toujours en tête les identités remarquables, qui factorisent en une ligne ce qui demanderait sinon une division entière.