Comment bien rédiger une récurrence (sans perdre de points)

Le raisonnement par récurrence est un grand classique de la Terminale spé maths. Sur le papier, le principe est simple. En pratique, c'est l'un des endroits où les correcteurs retirent le plus de points : une initialisation oubliée, une hypothèse de récurrence mal formulée, une conclusion bâclée… et la copie perd des points faciles. La bonne nouvelle ? Une récurrence se rédige presque toujours de la même façon. Une fois le modèle en tête, tu peux la dérouler les yeux fermés.

Le principe : trois étapes, jamais deux

Une démonstration par récurrence sert à prouver qu'une propriété, qu'on note $P(n)$, est vraie pour tout entier $n$ à partir d'un certain rang. L'idée est celle d'une échelle : si tu sais monter sur le premier barreau, et si depuis n'importe quel barreau tu sais atteindre le suivant, alors tu peux monter aussi haut que tu veux.

Concrètement, toute récurrence repose sur trois étapes indissociables :

• L'initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au premier rang (souvent $n=0$ ou $n=1$).
• L'hérédité : on suppose la propriété vraie à un rang $n$ quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence), et on démontre qu'elle est alors vraie au rang $n+1$.
• La conclusion : on invoque le principe de récurrence pour affirmer que la propriété est vraie pour tout $n$.

Aucune de ces étapes n'est facultative. Sauter l'initialisation, c'est comme savoir passer d'un barreau au suivant… sans jamais avoir posé le pied sur le premier. L'échelle ne tient pas.

Le modèle de rédaction type bac

Voici le squelette que tu peux réutiliser tel quel le jour de l'épreuve. Apprends-le par cœur : il structure ta réponse et rassure le correcteur.

• « Pour tout entier $n\ge n_0$, on note $P(n)$ la propriété : … »
• Initialisation. « Pour $n=n_0$, … donc $P(n_0)$ est vraie. »
• Hérédité. « Soit $n\ge n_0$ un entier. Supposons que $P(n)$ est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons alors que $P(n+1)$ est vraie. » Puis on rédige le calcul.
• Conclusion. « La propriété est vraie au rang $n_0$ et héréditaire. D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge n_0$. »

Le point essentiel de l'hérédité : tu pars de $P(n)$ que tu supposes vraie, et tu arrives à $P(n+1)$. Tu n'as pas le droit d'utiliser $P(n+1)$ comme si elle était déjà acquise — ce serait supposer ce que tu cherches à démontrer.

Les erreurs classiques qui coûtent des points

• Oublier l'initialisation. L'erreur la plus fréquente. Sans elle, l'hérédité ne prouve rien : on peut avoir une propriété héréditaire mais fausse partout. C'est éliminatoire pour la question.
• Mal formuler l'hypothèse de récurrence. Écrire « supposons $P(n)$ vraie pour tout $n$ » est un contresens : si elle était déjà vraie pour tout $n$, il n'y aurait rien à démontrer ! On suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, et on en déduit $P(n+1)$.
• Conclure trop vite. Une fois l'hérédité finie, on ne s'arrête pas net. Il faut la phrase de conclusion qui relie les deux étapes et cite le principe de récurrence. C'est un point « gratuit » que beaucoup oublient.
• Ne pas écrire ce qu'on veut montrer. Annoncer clairement « Montrons que $P(n+1)$ est vraie » aide le correcteur à suivre… et t'aide toi à ne pas te perdre.

Un exemple entièrement rédigé

Démontrons par récurrence que, pour tout entier $n\ge 1$ :

$$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Pour tout entier $n\ge 1$, on note $P(n)$ la propriété : $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

Initialisation. Pour $n=1$, le membre de gauche vaut $\sum _{k=1}^{1}k=1$, et le membre de droite vaut $\frac{1\times (1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1$. Les deux membres sont égaux, donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\ge 1$ un entier. Supposons que $P(n)$ est vraie, c'est-à-dire que $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. Montrons alors que $P(n+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

On part du membre de gauche au rang $n+1$ et on isole le dernier terme :

$$\sum _{k=1}^{n+1}k=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+(n+1)$$

En appliquant l'hypothèse de récurrence à la somme entre parenthèses :

$$\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$$

On factorise par $(n+1)$ au numérateur :

$$\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

C'est exactement $P(n+1)$. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion. La propriété $P(n)$ est vraie au rang $n=1$ et elle est héréditaire. D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 1$ : $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

À retenir

Une récurrence réussie, c'est avant tout une rédaction carrée. Garde en tête les trois étapes — initialisation, hérédité, conclusion — et ne saute jamais aucune des phrases de structure. Le jour du bac, le correcteur attribue souvent des points à la méthode elle-même, indépendamment du calcul. Annonce ce que tu veux montrer, utilise l'hypothèse de récurrence au bon endroit, et termine toujours par la phrase de conclusion. Avec ce réflexe, tu transformes une question parfois redoutée en points quasi garantis.