Graphe biparti et mariage de Hall

Dans une école, chaque élève choisit exactement k cours parmi n cours disponibles. Chaque cours est choisi par exactement k élèves.

1. Modéliser la situation par un graphe biparti k-régulier.
2. Énoncer le théorème de Hall : un graphe biparti G=(A∪B, E) possède un couplage parfait de A vers B si et seulement si pour tout S ⊆ A, |N(S)| ≥ |S| (où N(S) est l'ensemble des voisins de S).
3. Montrer que dans le cas k-régulier ci-dessus (même nombre d'élèves et de cours), il existe un emploi du temps où chaque cours peut être assigné à un élève différent (couplage parfait).