Chemin eulérien — conditions d'existence

Un chemin eulérien dans un graphe est un chemin qui passe exactement une fois par chaque arête. Un circuit eulérien est un chemin eulérien fermé (qui revient au point de départ).

1. Montrer que si un graphe connexe possède un circuit eulérien, alors tous ses sommets sont de degré pair.
2. Les 7 ponts de Königsberg forment un graphe avec 4 sommets de degrés 3, 5, 3, 3. Peut-on traverser chaque pont exactement une fois ?
3. Dans quel(s) cas un graphe connexe possède-t-il un chemin eulérien (non fermé) ?