Fiche de révision — 2ème Bac SP

Maths pour Sciences Physiques · Fonctions, intégrales, stats, proba · lumaths.com

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Dérivées usuelles

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · (eˣ)' = eˣ · (ln x)' = 1/x · (sin x)' = cos x · (cos x)' = −sin x

Dérivée composée

(f(u))' = u'·f'(u)

Ex : (sin(2x))' = 2cos(2x)

Tangente

y = f'(a)(x−a) + f(a) en x = a

Extrema

f'(a) = 0 et changement de signe → extremum local

Limites usuelles

$x \to 0 lim sin (x) / x = 1 \cdot lim e^{x} / x = + \infty \cdot x \to + \infty lim ln (x) / x = 0$

Pièges à éviter

✗ Tableau de variation : signe de f' → variation de f (pas valeur)
✗ Limite ne donne pas forcément l'extremum — vérifier le signe de f'

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Primitives clés

 $\int x^{n} d x = x^{n + 1} / (n + 1) + C \cdot \int e^{x} d x = e^{x} + C \cdot \int cos x d x = sin x + C \cdot \int 1/ x d x = ln ∣ x ∣ + C$

Intégration par parties

$\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$

Ex :

\int x cos x = x sin x + cos x + C

Calcul d'aire

Aire(courbe/axe) = |∫ $_{a}^{b}$ f(x)dx| | Aire entre f et g = ∫ $_{a}^{b}$ |f−g|dx

Valeur moyenne

m = (1/(b−a))×∫ $_{a}^{b}$ f(x)dx

Pièges à éviter

✗ ∫ $_{a}^{b}$ f = F(b)−F(a), ne pas inverser !
✗ Aire = valeur absolue de l'intégrale si la courbe passe sous l'axe

y' Équations différentielles (SP) 📄 mémento →

y' = ay (ordre 1)

y = C· $e^{a}$ ˣ

Ex : Loi de décroissance radioactive : N' = −λN → N = N₀·

e^{- λ t}

y' + py = q(x)

1) Résoudre y' + py = 0 → $y_{h}$ = C $e^{- p x}$ 2) Chercher $y_{p}$ 3) y = $y_{h}$ + $y_{p}$

Condition initiale

Donner y(x₀)=y₀ → trouver C

Astuce

En physique : décharge RC → u' + u/RC = 0. Oscillateur → y'' + ω²y = 0.

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Moyenne

$\overline{x}$ = (Σ $x_{i} n_{i}$ ) / N

Variance

V = Σ $n_{i}$ ( $x_{i}$ − $\overline{x}$ )² / N = (Σ $n_{i} x_{i}$ ²)/N − $\overline{x}$ ²

Écart-type

σ = $V$ | Données dans [ $\overline{x}$ −2σ, $\overline{x}$ +2σ] ≈ 95%

Loi binomiale

X∼B(n,p) : P(X=k) = $C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$ · E(X)=np · σ= $n p (1 - p)$

Loi normale

X∼N(μ,σ²) → Z=(X−μ)/σ∼N(0,1) | P(|X−μ|≤2σ) ≈ 0.95

Pièges à éviter

✗ Variance : toujours positive ou nulle
✗ Loi normale : la table donne P(0≤Z≤z) — attention aux symétries

Astuce

Intervalle de confiance à 95% : [$\overline{x}$−2σ/$\sqrt{n}$, $\overline{x}$+2σ/$\sqrt{n}$]

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Forme algébrique

z = a + ib (i² = −1) | |z| = $a^{2} + b^{2}$

Forme exponentielle

z = r· $e^{i θ}$ avec r=|z|, θ=arg(z)

Euler

$e^{i θ}$ = cosθ + i·sinθ | $e^{- i θ}$ = cosθ − i·sinθ

Applications

cos θ = ( $e^{i θ}$ + $e^{- i θ}$ )/2 | sin θ = ( $e^{i θ}$ − $e^{- i θ}$ )/(2i)

Astuce

En physique : signaux sinusoïdaux → représentation complexe (phaseurs). Z_R=R, Z_C=1/(jCω), Z_L=jLω

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Addition

cos(a+b) = cosacosb − sinasinb | sin(a+b) = sinacosb + cosasinb

Duplication

cos(2a) = cos²a−sin²a = 1−2sin²a | sin(2a) = 2sinacosa

Linéarisation

cos²a = (1+cos2a)/2 | sin²a = (1−cos2a)/2

Dérivées trig.

(sin x)' = cos x · (cos x)' = −sin x · (tan x)' = 1/cos²x = 1+tan²x

Pièges à éviter

✗ cos(2a) a 3 formes — choisir selon ce qu'on sait sur a
✗ tan n'est pas définie en π/2 + kπ

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