« Loi des grands nombres » mal interprétée — l'illusion du joueur

L'erreur typique est la suivante : après une série d'événements identiques et indépendants, on anticipe que l'événement opposé est plus probable. Par exemple, si une pièce de monnaie tombe cinq fois de suite sur « Pile », l'élève conclut que la probabilité d'obtenir « Face » au sixième lancer est supérieure à 0.5. C'est une extrapolation erronée de la Loi des Grands Nombres (LGN) à des séquences courtes et à des événements individuels.

Considérons un exemple concret : un QCM sur les probabilités. Question : « Une urne contient des boules blanches et noires. Après 10 tirages avec remise, on a obtenu 8 boules noires et 2 boules blanches. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche au 11ème tirage ? » L'erreur serait de penser que la probabilité est plus élevée que la probabilité intrinsèque d'une boule blanche, sous prétexte que les blanches sont « en retard ».

La prévention de cette erreur repose sur une compréhension rigoureuse de la notion d'indépendance stochastique. Avant chaque calcul de probabilité, posez-vous systématiquement la question : « Les événements sont-ils indépendants ? » Si oui, le passé n'influence pas le futur.

• Réflexe systématique : Pour tout problème de probabilités impliquant des tirages successifs ou des répétitions d'expériences, vérifiez si l'énoncé spécifie « avec remise » ou « sans remise ». Si c'est « avec remise », ou si les événements sont intrinsèquement indépendants (lancers de dés, pièces), alors la probabilité de chaque événement est constante.
• Formalisation : Rappelez-vous la définition de l'indépendance : $P(A|B)=P(A)$. La probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de A. L'information B (les tirages précédents) n'apporte aucune information sur A (le tirage suivant).
• Contre-exemple mental : Imaginez que la pièce ou le dé ait une « mémoire ». Cela n'a aucun sens physique. Les probabilités ne sont pas des forces qui s'accumulent ou se dissipent.

Cette erreur est fréquemment exploitée dans les exercices de probabilités au BAC SM, notamment dans les contextes de tirages avec remise, de lancers de pièces ou de dés, ou d'expériences de Bernoulli répétées. Les énoncés peuvent volontairement présenter de longues séquences de résultats pour induire l'élève en erreur.

Par exemple, dans un exercice sur une variable aléatoire binomiale $X\sim \mathcal{B}(n,p)$, on pourrait demander la probabilité d'obtenir un succès au $k$-ième essai sachant qu'on a eu $k-1$ échecs consécutifs. La réponse correcte est simplement $p$, la probabilité de succès d'un essai isolé, et non une valeur modifiée par la série d'échecs. Les chaînes de Markov, bien que plus complexes, exigent aussi une attention particulière à la nature de la dépendance : pour une chaîne de Markov, le futur ne dépend que du présent, pas du passé lointain. La Gambler's Fallacy est une confusion entre l'indépendance totale et cette propriété de Markov.